Lineární programování 2. seminář OSA

Definice modelu lineárního programování a jeho grafické řešení

Komponenty modelu Proměnné Omezující podmínky Podmínky nezápornosti Účelová (kriteriální) funkce

Typy omezujících podmínek Typy proměnných Strukturní Doplňkové Pomocné Typy omezujících podmínek Kapacitní Požadavkové Určení

Podmínky nezápornosti Pro všechny proměnné všech typů Zajišťují aplikovatelnost řešení Účelová funkce Minimalizační Maximalizační

Matematický zápis modelu

Grafické řešení modelů LP Nejvýše dvě proměnné, libovolný počet OP Prostor řešení Nejvýše dvě OP, libovolný počet proměnných Prostor požadavků

Prostor řešení Na osy se vynášejí hodnoty proměnných Množina přípustných řešení je zobrazena průnikem polorovin OP Podmínky nezápornosti – uvažujeme pouze 1. kvadrant Účelová funkce je zobrazena jako mapa spojnic kombinací proměnných s konstantní hodnotou ÚF

Příklad – optimalizace investice Investor se rozhoduje o rozložení investice 10 000 000 Kč mezi akcie a podílové fondy (PF). Kvůli diverzifikaci investice požaduje nakoupit akcie za minimálně 1 500 000 Kč a minimálně 2 000 000 Kč uložit do PF. Dále si bodově ohodnotil rizikovost jedné koruny investované do akcií dvěma body (do PF jedním bodem) a požaduje celkovou rizikovost investice nejvýše 15 000 000 bodů. Investor předpokládá výnos z investice do akcií ve výši 6%, z investice do PF ve výši 4%. Jak má investor rozložit investici, aby za daných podmínek maximalizoval svůj výnos?

Definice modelu Proměnné – x1 … investice do akcií (mil. Kč) x2 … investice do PF (mil. Kč) Omezující podmínky celková výše investice x1 + x2 ≤ 10 diverzifikace x1 ≥ 1,5 x2 ≥ 2 riziko 2x1 + x2 ≤ 15 Podmínky nezápornosti x1, x2 ≥ 0 Účelová funkce Z = 1,06x1 + 1,04x2 → max

Grafické řešení modelu kuk - Excel

Prostor požadavků Hledáme efektivní způsob uspokojení daných požadavků Koeficienty v matici A přepočítáváme vzhledem k jednotkám ÚF Na osy vynášíme stupně uspokojení daných požadavků Nezápornost – nezáporné koeficienty lineární kombinace směrových vektorů Optimalita – vzdálenost průsečíku směrových vektorů s vektorem požadavků od počátku souřadnic

Příklad – portfolio II Investor se rozhoduje o rozložení investice mezi akcie, podílové fondy (PF), termínované vklady (TV) a hypoteční zástavní listy (HZL). Likviditu jednotlivých nástrojů si ohodnotil bodově (akcie 5 b, PF 4 b., TV 1 b. a HZL 3 b.). Požaduje, aby celková likvidita portfolia dosáhla právě 30 000 000 b. Výnosy nástrojů ohodnotil roční úrokovou mírou (akcie 6%, PF 4%, TV 1% a HZL 5%) a požaduje dosažení výnosu právě 3% p.a. Investuje celkem 10 000 000 Kč. Investor dále ohodnotil riziko plynoucí z držby jednotlivých aktiv 10, 8, 3 resp. 4 body. Jak má investor rozložit investici, aby za daných podmínek minimalizoval riziko?

Definice modelu Proměnné – x1 … investice do akcií (mil. Kč) x2 … investice do PF (mil. Kč) x3 … investice do TV (mil. Kč) x4 … investice do HZL (mil. Kč) Omezující podmínky likvidita 5x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 30 výnos 1,06x1 + 1,04x2 + 1,01x3 + 1,05x4 = 10,3 Podmínky nezápornosti x1, x2, x3, x4 ≥ 0 Účelová funkce Z = 10x1 + 8x2 + 3x3 + 4x4 → min

Grafické řešení modelu kuk - Excel

Příklad k procvičení Definujte model lineárního programování Zvolte si vhodnou zobrazovací metodu Vyřešte model graficky

Simplexová metoda

Základní pojmy Přípustné řešení - množina přípustných řešení Bázické řešení Optimální řešení Alternativní řešení Suboptimální řešení

Řešitelnost modelu Řešení neexistuje Existuje právě jedno řešení neexistuje řešení omezujících podmínek kriteriální funkce je neomezená v požadovaném směru Existuje právě jedno řešení jediné a bázické Existuje nekonečně mnoho řešení dvě a více bázická optimální (alternativní) řešení

Simplexový algoritmus

Příklad – výroba dřevěných hraček Továrna na výrobu dřevěných hraček se rozhoduje, jaký výrobní program stanoví pro jednu ze svých linek. Na této lince může vyrábět buď slony, nebo koníky. Návaznost na další pracovní úkony vylučuje, aby se dohromady vyrobilo více než tisíc výrobků za jeden výrobní cyklus. Přitom na výrobu jednoho slona je potřeba 0,2 kg materiálu, na výrobu jednoho koníka 0,3 kg materiálu a linka může zpracovat maximálně 240 kg materiálu za jeden výrobní cyklus. Jaký je optimální výrobní program realizovaný na této lince, pokud je požadována maximalizace zisku, který činí na jednoho slona 6 Kč a na jednoho koníka 7 Kč?

Množství energie (kcal) Příklad k procvičení Trenér běžce na dlouhé tratě se rozhoduje, jak sestavit pro svého svěřence plán doplňování energie a tekutin během závodu tak, aby co nejméně zatížil jeho organismus. Má k dispozici následující prostředky; jejich parametry udává tabulka: Prostředek Množství energie (kcal) Objem tekutin (ml) Zatížení organismu Minerální nápoj 8 100 1 Energetický nápoj 10 2 Energetická tyčinka 160 3 Bujón 20 250 Požadavek 800 2000 minimální Jakým způsobem má trenér stanovit plán výživy, jestliže je potřeba, aby závodník získal minimálně 800 kcal energie, ale vypil právě 2 l tekutin? Sestavte model a vyřešte jej pomocí simplexové metody.

Analýza výsledků Optimální řešení Alternativní řešení Suboptimální řešení Analýza citlivosti vzhledem k změnám cen Analýza citlivosti vzhledem k změnám pravých stran