FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů APLIKOVANÁ MECHANIKA VEKTOROVÝ POČET Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Fakulta dopravní ČVUT Praha Na Florenci 25, Praha 1 Tel. 224 214 605 E-mail jira@fd.cvut.cz 1 Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika VEKTOROVÝ POČET VEKTOR Uspořádaná trojice reálných čísel, pro kterou je definována rovnost, součet a součin se skalárem. Značíme ho např. A nebo . Vektor se znázorňuje úsečkou určité délky a určitého (orientovaného) směru. Délkou (modulem) vektoru nazýváme jeho absolutní hodnotu Nulové vektory mají absolutní hodnotu rovnou nule a směr neurčitý. Radiusvektory jsou vektory s počátečním bodem v počátku souřadnic. Jednotkové vektory mají absolutní hodnotu rovnou jedné. Kolineární vektory jsou rovnoběžné a touž přímkou. Opačné vektory jsou si rovny, mají-li stejné délky a stejné (orientované) směry. 2 Doc.Ing. Michal Micka, CSc. Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika VYJÁDŘENÍ VEKTORU POMOCÍ SLOŽEK x y z Ax Ay Az A Průměty vektoru A do tří os soustavy souřadnic x,y,z dávají vektorové složky vektoru A, které se označují Ax, Ay, Az. Má-li počáteční, resp. koncový bod vektoru A souřadnice x1, y1,z1, resp. x2, y2, z2, platí Čísla Ax, Ay, Az se nazývají souřadnice vektoru A. Píšeme také Obdobně pro jednotkové vektory Vektor A můžeme tedy zapsat těmito způsoby: Absolutní hodnota (Pythagorova věta v prostoru) 3 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika SMĚROVÉ KOSINY Úhly, které svírá vektor A s kladnými směry os souřadnic, dostaneme z tzv. směrových kosinů vektoru A x y z Ax Ay Az a b g 4 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ VEKTORŮ Součet, resp. rozdíl vektorů ve složkovém vyjádření má tvar Graficky se k vektoru A připojí vektor B rovnoběžným posunutím. Spojí-li se počáteční bod vektoru A s koncovým bodem vektoru B, dostaneme součet vektorů Odečítání jednoho nebo několika vektorů se převede na sčítání opačných vektorů: A B S=A+B C D E S=A+B+C+D+E -B D=A-B 5 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Komutativní zákon sčítání Asociativní zákon sčítání NÁSOBENÍ VEKTORŮ Násobení vektorů skalárem představuje vektor, který je s vektorem A kolineární (n je libovolné reálné číslo) dává vektor nA, který má s A týž směr dává nulový vektor dává vektor nA, který má vůči A opačný směr 6 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Skalární součin Definice: kde a je nejmenší z úhlů, o který je třeba otočit jeden z vektorů, aby byl rovnoběžný s druhým. Skalární součin je sám skalár. Komutativní zákon Distributivní zákon Asociativní zákon neplatí. Pro A ↑↑ B platí Pro A ↑↓ B platí Pro A B platí Pro jednotkové vektory platí 7 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Z toho plyne vyjádření skalárního součinu ve složkách úhel mezi dvěma vektory 8 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Vektorový součin Definice: Vektorovým součinem rozumíme vektor C, který má délku je kolmý k oběma vektorům A, B, přičemž vektory A, B, C tvoří pravotočivou soustavu Distributivní zákon Pro A ↑↑ B a A ↑↓ B platí Pro A B platí Pro jednotkové vektory platí 9 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Vyjádření vektorového součinu pomocí složek nebo Číselně je délka vektorového součinu rovna obsahu vektorového rovnoběžníka. A B a 10 Přednáška 1.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Smíšený součin tří vektorů je skalár Absolutní hodnota smíšeného součinu je rovna objemu rovnoběžnostěnu vytvořeného ze tří vektorů A,B,C vycházejících z jednoho bodu. Smíšený součin je kladný, jestliže A, B, C tvoří pravotočivou soustavu. Platí A B C Platí 11 Přednáška 1.