Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-48 – DERIVACE FUNKCE IV (věty o derivaci funkcí) AnotaceVěty o derivaci funkcí (derivace součinu konstanty a funkce, derivace součtu a rozdílu funkcí). AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstup Žák chápe věty o derivování funkcí jako nástroj pro efektivní výpočet derivací funkcí a také jako nástroj odvození derivací dalších elementárních funkcí. Žák umí formulované a dokázané věty aplikovat. Klíčová slova Derivace, matematická věta, důkaz věty, věta o derivování součinu konstanty a funkce, věta o derivaci součtu funkcí, věta o derivaci rozdílu funkcí, zobecnění. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

Vojtěch Jarník - Diferenciální počet (I) (z předmluvy k 1. vydání, které vyšlo v roce 1946) Čtenář, který se z diferenciálního počtu - nebo z nějaké jiné matematické nauky - naučil napřed početním předpisům pro řešení příkladů a potom teprve se věnoval systematickému studiu, má snad někdy tento dojem: matematika se skládá z řady praktických předpisů pro řešení úloh; a k těmto předpisům si učenci pro okrasu přidali teorii. Byl bych šťasten, kdyby si čtenář ze studia této knihy odnesl dojem právě opačný: obecná teorie je základem - v podstatě velmi jednoduchým – z něhož přirozeně a nenásilně plynou metody k řešení speciálnějších problémů.

 MOTIVACE VĚTY 1 Na obrázku vidíme funkce y = - 3 [konstanta k] a y = sin x [funkce f(x)]. Jejich vynásobením dostaneme novou funkci o rovnici y = - 3 sin x [to je funkce k. f(x)]. Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x 0 definičního oboru této funkce [to je množina všech reálných čísel]. Derivaci dané funkce můžeme vypočítat pomocí definice, lze také počítat efektivněji pomocí následující věty. Derivace součinu konstanty k a funkce f(x) je rovna součinu konstanty k a derivace funkce f(x). y = k. f(x)  y' = [ k. f(x) ]' = k. f'(x)

VĚTA 1: Předpokládejme, že k je libovolná reálná konstanta a f(x) je funkce, která má derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce k. f(x) a platí: [k · f(x)]' (x0) = k · f '(x 0 ). Přímý důkaz:  UŽITÍM VĚTY 1 VYPOČÍTEJTE ZPAMĚTI DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ:

 MOTIVACE VĚTY 2 Na obrázku vidíme funkce y = x 2 [funkce f(x)] a y = 2 x [funkce g(x)]. Jejich sečtením dostaneme novou funkci o rovnici y = x x [to je funkce f(x) + g(x)]. Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x 0 definičního oboru této funkce. Derivaci dané funkce můžeme vypočítat dvěma způsoby. 1. Výpočet derivace pomocí definice derivace: 2. Výpočet derivace užitím Věty 2: VĚTA 2: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x) + g(x) a platí: [f(x) + g(x)]' (x0) = f'(x 0 ) + g'(x 0 ). Derivace součtu dvou funkcí je rovna součtu derivací jednotlivých funkcí.

Přímý důkaz věty 2, věta má dva předpoklady 1. Funkce f(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. Funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: Pomocí definice derivace a využitím uvedených předpokladů věty dostáváme:  UŽITÍM VĚTY 2 VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1.y = x 2 + x 3 2.y = x 2 + sin x 3.y = x 8 + cos x 4.y = sin x + cos x 5.y = x 3 + x 4 + x 5 6.y = x sin x 7.y = 3. x cos x 8.y = 7. sin x + 8. cos x

 PROBLÉM K ŘEŠENÍ Formulujte a dokažte větu pro derivování rozdílu funkcí [f(x) - g(x)]' (x0) = ? VĚTA 3: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x) - g(x) a platí: [f(x) - g(x)]' (x0) = f'(x 0 ) - g'(x 0 ). Derivace rozdílu dvou funkcí je rovna rozdílu derivací jednotlivých funkcí (při zachování pořadí menšenec menšitel). Přímý důkaz věty 3  UŽITÍM VĚTY 3 VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1.y = x 2 - x 3 2.y = x 2 - sin x 3.y = x 8 - cos x 4.y = sin x - cos x 5.y = x 3 - x 4 - x 5 6.y = x sin x 7.y = 3. x cos x 8.y = 7. sin x - 8. cos x

 PROBLÉM K ŘEŠENÍ Formulujte a dokažte větu pro derivování funkce [f(x) + g(x) + h(x)]' (x0) = ? VĚTA 4: Předpokládejme, že funkce f(x), g(x) a h(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x) + g(x) + h(x) a platí: [f(x) + g(x) + h(x)]' (x0) = f'(x 0 ) + g'(x 0 ) + h'(x 0 ). Přímý důkaz věty Dokážete větu zobecnit? Uvažujte funkce f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), …, f n (x), kde n  N. VĚTA 5: Předpokládejme, že funkce f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) mají derivaci (vlastní) vbodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) a platí: [f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x)]' (x0) = f 1 '(x 0 ) + f 2 '(x 0 ) + … + f n '(x 0 ).  UŽITÍM VĚTY VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1.y = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 2.y = x 2 + sin x + cos x 3.y = x 8 – cos x – sin x + x 12 4.y = 1 + x + x 2 + sin x + cos x

 PROBLÉM K ŘEŠENÍ Formulujte a dokažte větu pro derivování funkce [k. f(x) + m. g(x)]' (x0), kde k, m  R. VĚTA 6: Předpokládejme, že k, m jsou reálná čísla, dále předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce k. f(x) + m. g(x) a platí: [k. f(x) + m. g(x)]' (x0) = k. f'(x 0 ) + m. g'(x 0 ). Přímý důkaz věty  UŽITÍM VĚTY VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1.y = 5. x x 3 2.y = 7. x sin x 3.y = 4. x 8 – 10. cos x 4.y = 11. x sin x cos x

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.  Vypčítejte derivace následujících funkcí v libovolném bodě definičního oboru. (Vždy určete definiční obor dané funkce a její derivace.)