Úplné kvadratické rovnice Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

KVADRATICKÁ ROVNICE Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2 + bx + c = 0, kde a  R-{0}; b,c  R. Poznámka: ax2 – kvadratický člen, a - koeficient kvadratického členu bx – lineární člen, b - koeficient lineárního členu c – absolutní člen ax2 + bx + c – kvadratický trojčlen

Řešení kvadratické rovnice Každou kvadratickou rovnici převedeme na anulovaný tvar a dále použijeme některou z možností řešení: Řešení pomocí diskriminantu Vztah mezi kořeny a koeficienty kvadr. rovnice Řešení doplněním na čtverec ??? Neúplné kvadratické rovnice a tyto metody Lze je použít, ale postup je zbytečně zdlouhavý.

Řešení pomocí diskriminantu Diskriminant kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0 je výraz b2 – 4ac a značíme jej D. , D rozhoduje o kořenech rovnice: D  0  rce nemá v R řešení D = 0  rce má jeden dvojnás. kořen D  0  rce má dva reálné kořeny

Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice: a) 2x2 - x - 6 = 0 a = 2, b = -1, c = -6 Řešení: D = b2 – 4ac = (-1)2 - 42(-6) = 1 + 48 = 49 > 0 2 řešení

Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice: b) 2x2 - x + 6 = 0 c) x2 - 2x + 1 = 0 Řešení: Řešení: a = 2, b = -1, c = 6 a = 1, b = -2, c = 1 D = (-1)2 - 426 = D = (-2)2 - 411 = 4 - 4 = 0 = 1 - 48 = -47 < 0 K = Ø K = {1}

Cvičení: V oboru reálných čísel řešte pomocí D dané rovnice: 16x2 - 8x + 1 = 0 3x + x2 + 4 = 0 3z2 - 4 - z = 0 x2 + 1,5x - 4,5 = 0 4x = 4x2 - 1 19x = 7x2 (4x - 3)2 = (3x + 2)2 7x(x - 3) = -2(x2 + 5) (2x + 1)(x + 2) = 2(5 + 2x) (x + 3)(x - 2) = (3x + 2)(4x - 3) .

Řešení pomocí VKK Příklad: Řešte kvadratickou rovnici 3x2 + x – 10 = 0. Řešení: a = 3 b = 1 c = -10 , Jsou-li x1, x2 kořeny kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0, pak pro ně platí:

?? Platí uvedené věty i obráceně Řešení pomocí VKK Je-li kvadr. rovnice normovaná (x2+px+q = 0), platí pro její kořeny Vietovy vzorce: Příklad: Pomocí Vietových vzorců řešte rci x2-7x+12=0 Řešení: 3+4 = 7 26, (-2)(-6), 34, (-3)(-4), 112 ?? Platí uvedené věty i obráceně K = {3; 4}

Řešení pomocí VKK Nechť a, b, c  R  a  0. Pak čísla x1, x2, pro která platí , , jsou kořeny kvadr. rovnice ax2+bx+c = 0. Příklad: Určete b, c tak, aby čísla 3 a -0,5 byla kořeny kvadratické rovnice 2x2+bx+c = 0 Řešení: x1 = 3, x2 = -0,5 b = -5 2x2 - 5x - 3 = 0 c = -3

Řešení doplněním na čtverec Rovnici ax2 + bx + c = 0 převedeme na tvar a(x2 + b´x + c´) = 0, závorku dále upravujeme: (x + b´/2)2 - (b´/2)2 + c´= 0 p q2 , (x + p)2 – q2 = (x + p - q)  (x + p + q) = = (x – x1)  (x – x2) x1 a x2 jsou hledanými kořeny rovnice

Příklad: Doplněním na čtverec řešte rovnici x2 + 3x + 2 = 0. Řešení:

Rozklad kvadr. trojčlenu Nechť je dána kvadr. rovnice ax2 + bx + c = 0 s kořeny x1, x2. Pak lze kvadr. trojčlen zapsat ve tvaru: ax2 + bx + c = a(x–x1)(x–x2) Příklad: Rozložte na součin lin. členů: 2x2 – 5x – 3 Řešení: D = b2 – 4ac = (-5)2 - 42(-3) = 49 2x2 – 5x – 3 = 2(x – 3)(x – (–0,5))= 2(x – 3)(x + 0,5)

Cvičení: Příklad 1: Dané rovnice řešte doplněním na čtverec: x2 – 3x + 2 = 0 x2 + 11x + 24 = 0 10 = x2 + 3x 7x = x2 + 10 x2 - 8x + 15 = 0 x2 - 0,5 = 0,5x Příklad 2: Řešte pomocí VKK a kvadr. trojčleny zapište jako součin lineárních členů: x2 – 3x + 2 = 0 x + x2 – 6 = 0 2x2 + 22x + 48 = 0 5 = 0,5x2 + 1,5x x2 + 16 = -10x x2 + 8 = 9x

Grafické řešení kvadr. rovnic Rovnici převedeme na tvar x2 = -px - q f1: y = x2 (grafem parabola) f2: y = -px - q (grafem přímka) , přímka je sečnou  2 spol. body  rce má 2 řešení přímka je tečnou  1 spol. bod  rce má 1 řešení žádný spol. bod  rce nemá žádné řešení ??? Jaká souřadnice spol. bodu je řešením původní rce první souřadnice (x) společného bodu

Příklad: Graficky řešte rovnici x2 + x - 2 = 0 Řešení: x2 = -x + 2 f1: y = x2 f2: y = -x + 2 x 3 y 2 -1 K = {-2; 1}