EUKLIDOVY VĚTY A PYTHAGOROVA VĚTA D. Andrle, listopad 2005
Pravoúhlý trojúhelník Podobné trojúhelníky ACP a CBP : C cb : v = v : ca v2= ca . cb a b vc cb A P ca B Podobné trojúhelníky CBP a ABC : Podobné trojúhelníky ACP a ABC : a : ca = c : a a2= c . ca b : cb = c : b b2= c . cb
Euklidova věta o výšce v2= ca . cb V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků přepony. Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony. v2= ca . cb
Euklidova věta o odvěsně V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlého. Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlého. a2= c . ca b2= c . cb
Odvození Pythagorovy věty odvozuje se z Euklidovy věty o odvěsně: a2 = c . ca b2 = c . cb ------------------------------- a2 + b2 = c . ca + c . cb a2 + b2 = c . (ca + cb) a2 + b2 = c2
Pythagorova věta a2 + b2 = c2 V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek obou odvěsen. Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. a2 + b2 = c2
Důkaz Pythagorovy věty
Využití uvedených vět výpočtové úlohy – řešení trojúhelníku, metrické vztahy v rovině i v prostoru důkazové úlohy konstrukce úseček iracionálních délek