Téma 2 Rovinný problém, stěnová rovnice. Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011 Téma 2 Rovinný problém, stěnová rovnice. Rovinná napjatost Rovinná deformace Stěnová rovnice, Airyho funkce Příklad řešení nosné stěny inverzní metodou Rovinný problém v polárních souřadnicích Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Rovinné úlohy Řešené úlohy teorie pružnosti se podstatně zjednoduší, pokud v tělese budou rovnoběžná(é) s jednou rovinou všechna nenulová(é) napětí – rovinný stav napjatosti deformace – rovinný stav deformace Příklady rovinného stavu napjatosti:

Rovinné úlohy Příklady rovinného stavu deformace Pružné těleso mezi dokonale tuhými tělesy Potrubí, tunel v zemním tělese Opěrná zeď

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost Pro střednicí v rovině xy je: Rovnice rovnováhy se redukují na

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost Fyzikální rovnice (Hookův zákon) se upravují: Při rovinné napjatosti je deformace prostorová

C je matice poddajnosti D je matice tuhosti e je vektor deformace Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost, pokračování: Fyzikální rovnice lze maticově zapsat ve tvaru: a zkráceně: C je matice poddajnosti D je matice tuhosti e je vektor deformace s je vektor napětí

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná deformace, napětí jako funkce složek deformace Pro střednici v rovině xy je: Fyzikální rovnice (Hookův zákon) se upravují: Z rovnice Při rovinné deformaci je napěťový stav prostorový

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná deformace, deformace jako funkce napětí Zkráceně lze opět napsat: D matice tuhosti C matice poddajnosti

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, shrnutí Rovinné úlohy dělíme na: Rovinné úlohy napjatosti Rovinné úlohy deformace V těchto úlohách máme Dvě rovnice rovnováhy Tři geometrické rovnice Tři fyzikální rovnice

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, shrnutí U rovinné napjatosti je prostorový stav deformace. Dvě složky pootočení jsou nulové a třetí normálovou deformaci lze vyjádřit jako funkci nenulových normálových napětí nebo jako funkci zbývajících normálových deformací. U rovinné deformace je prostorový stav napjatosti. Dvě smyková napětí jsou nulová a třetí normálové napětí lze vyjádřit jako funkci nenulových normálových napětí nebo jako funkci zbývajících normálových deformací. Rovnice rovnováhy a rovnice kompatibility jsou u obou typů rovinných úloh identické. Fyzikální rovnice se poněkud liší, i když je lze i pro normálová napětí a deformace formálně shodně zapsat. Vztahy mezi potočením a smykovým napětím jsou identické.

Řešení nosných stěn, odvození stěnové rovnice Rovnice kompatibility pro rovinnou napjatost: Z Hookova zákona dosadíme: Z rovnic rovnováhy Lévyho podmínka vyjadřuje rovnici kompatibility v rovině v napětích

Řešení nosných stěn, odvození stěnové rovnice, pokračování Rovnice rovnováhy v rovině a Lévyho podmínka tvoří soustavu tří rovnic: Pro nulové objemové síly rovnicím rovnováhy vyhovuje funkce F(x,y) (Airyho funkce), pro kterou platí: Po dosazení složek napětí do Lévyho podmínky dostaneme tzv. stěnovou rovnici: Nebo pomocí Laplaceova operátoru:

Stěnová rovnice nazývaná také biharmonická, je : parciální diferenciální rovnicí 4. řádu, lineární, homogenní (nemá pravou stranu) Pro každou rovnici stěny lze odvodit stav napětí stěny odpovídající podmínkám rovnováhy a spojitosti (Airy 1862) při respektování okrajových podmínek. Platí za předpokladu nulových nebo konstantních objemových sil, pro homogenní a izotropní materiál. V rovnici nevystupuje žádná materiálová konstanta, což je podkladem pro experimentální analyzování stěn na modelech.

Nízký a vysoký stěnový nosník

Vliv výšky stěny na její napjatost Na obr. jsou porovnány výsledky řešení stěny pro různé poměry délky a výšky stěny. Jsou zde také výsledky výpočtu (čárkovaná čára) pro nosníky předpokládající platnost Bernouli-Navierovy hypotézy o zachování rovinného řezu průřezu nosníku. V příkladu a=3m, t=1, q=100kN/m

Nosné stěny,některé metody řešení Metody využívající stěnovou rovnici: Inverzní metoda Metoda sítí Fourierova metoda Variační metody: Energetické metody (např. Ritzova metoda) Metoda konečných prvků Existují i další metody. S výjimkou inverzní metody, jejíž použití je velmi omezené, jsou všechny tyto metody přibližné.

Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou Řešte stěnu podepřenou jako konzolu zatíženou silou: Zvolme Airyho funkci ve tvaru: F musí vyhovovat stěnové rovnici, což je splněno:

Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou, okrajové podmínky Složky napětí pro funkci Okrajové podmínky:

Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou, funkce napětí Po vložení hodnot do Airyho funkce je: Tyto vztahy jsme odvozovali v PP, viz výpočet normálových napětí a smykových napětí (Grashofův vzorec) pro obdélníkový průřez a pro jednotkovou šířku konzoly.

Inverzní metoda řešení Podstatou inverzní metody řešení nosných stěn je: Analýza zadané biharmonické (Airyho) funkce (zjištění, zda-li zadaná funkce je skutečně biharmonická, tj. že splňuje stěnovou rovnici) Hledání odpovídajících okrajových podmínek (silových, deformačních případně smíšených) Analýza stavu napětí v dané stěně. Metoda vychází ze známé funkce a hledá se jí odpovídající stěna s okrajovými podmínkami – proto inverzní metoda

Rovinný problém v polárních souřadicích V polárních souřadnicích používáme proměnné r a . Vztah mezi nimi a souřadnicemi x, y vyplývá z obr.: Fyzikální rovnice v polárních souřadnicích lze získat z rovnic pro rovinnou napjatost nebo pro rovinnou deformaci přepsáním indexů: Rovinná napjatost: Rovinná deformace:

Podmínky rovnováhy v polárních souřadnicích Plošný element má jednotkovou tloušťku. Podmínky rovnováhy sestavujeme ve směru průvodiče r a kolmo na něj, tj. ve směru  Předpokládá se: Po úpravě a zanedbání malých hodnot je:

Základní rovnice pružnosti pro rotačně symetrické úlohy Geometrické rovnice jsou: Rovnice rovnováhy se zjednoduší na:

Stěnová rovnice v polárních souřadnicích Tuto rovnici lze odvodit ze stěnové rovnice v pravoúhlých souřadnicích x,y transformací do polárních souřadnic. Odvození je uvedeno např. v Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006. Složky napětí jsou:

Princip Saint-Venantův V bodech tuhého tělesa, dostatečně vzdálených od působišť vnějších sil, napětí velmi málo závisí na detailním způsobu realizace těchto zatížení

Použitá literatura [1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006. [2] Dobiášová, V., Varaďová, V., Pružnost a plasticita II, Pomůcka do cvičení, Část I. Akademické nakladatelství CERM, s.r.o. Brno, 1996. [3] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993.