Matematické modelování a operační výzkum RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Teorie systémů a operační analýza

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Operační analýza Alternativní nebo příbuzné pojmy: operační výzkum ekonomicko-matematické metody Operations Research Management Science Operations Management TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum metodologicky ucelený přístup k řešení složitých rozhodovacích problémů, založený na matematickém modelování a použití počítačů; souhrn metod a prostředků pro získávání kvantitativních podkladů pro rozhodování výkonných orgánů o operacích, které mají řídit. TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Modely a modelování Modelování: účelové zobrazování vyšetřovaných vlastností originálu pomocí vhodně zvolených vlastností modelu. Model: zjednodušené zobrazení zkoumaného objektu realizované k určitému cíli. TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

Vztah mezi objektem a jeho modelem tvorba modelu objekt model implementace poznatků řešení modelu interpretace poznatků poznatky o objektu poznatky o modelu TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

Příklady klasifikace modelů A) Podle zobrazované stránky zkoumaného objektu Modely  struktury  chování  smíšené B) Podle stupně abstrakce Modely  ikonické  analogové  matematické TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

Struktura modelu operačního výzkumu Veličiny modelu: neřiditelné veličiny rozhodovací proměnné výsledkové proměnné Matematické vztahy: kriteriální (účelová) funkce omezující podmínky (rovnice a nerovnice) TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

Klasifikace rozhodovacích situací a) Rozhodování  za určitosti  za rizika (stochastické modely)  za neurčitosti b) Rozhodování  s jedním kritériem  s více kritérii c) Rozhodování  s jedním rozhodovatelem  s více rozhodovateli (konfliktní situace) TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

Proces operačního výzkumu 1. Rozpoznání problému. 2. Formulace a klasifikace problému. 3. Konstrukce modelu. 4. Ověření modelu. 5. Řešení modelu. 6. Interpretace řešení. 7. Implementace řešení. TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Příklad maximalizačního problému (problém optimalizace výrobního programu) Předpokládejme, že podnik je schopen vyrábět n typů výrobků, přičemž k výrobě využívá m druhů zdrojů. Je třeba pro dané období stanovit výrobní program (tj. určit které typy výrobků a v jakém množství se mají vyrábět) tak, aby nebyly překročeny kapacity výrobních zdrojů a aby bylo dosaženo maximálního zisku. Předpokládáme, že závislosti mezi objemem výroby na jedné straně a spotřebou zdrojů a celkovým ziskem na druhé straně jsou lineární. TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Veličiny modelu Neřiditelné veličiny: aij … spotřeba i-tého zdroje na výrobu jednotky j-tého výrobku bi … kapacita i-tého zdroje cj … zisk za jednotku j-tého výrobku Rozhodovací proměnné: xj … vyrobené množství j-tého výrobku Výsledková proměnná: z … celkový zisk TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

Konstrukce kriteriální funkce zisk za množství xj j-tého výrobku celkový zisk za výrobní program x = (x1 , … , xn ) TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

Konstrukce omezujících podmínek Kapacitní omezení: spotřeba i-tého zdroje nesmí překročit jeho kapacitu Podmínky nezápornosti: nemůžeme vyrobit záporné množství j-tého výrobku spotřeba i-tého zdroje na výrobu množství xj j-tého výrobku celková spotřeba i-tého zdroje na výrobní program x = (x1 , … , xn ) TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Maximalizovat za podmínek Pozn. Tento model předpokládá, že množství výrobků jsou libovolně dělitelná (to je možné např. v chemické nebo hutní výrobě). TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Možné úpravy modelu: Kapacita k-tého zdroje musí být plně vyčerpána: Nesmí být vyrobeno více než hr jednotek r-tého výrobku (omezení odbytu): Musí být vyrobeno alespoň ds jednotek s-tého výrobku (aby byla splněna objednávka): Množství l-tého výrobku se měří v kusech (Z označuje množinu celých čísel): TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Příklad minimalizačního problému (problém optimalizace volby výrobních postupů) Podnik vyrábí m typů výrobků. Tyto výrobky mohou být vyráběny pomocí n různých výrobních postupů. Každému postupu odpovídá jedna surovina, přičemž suroviny u různých postupů mohou být stejné nebo odlišné (jedná se např. o chemickou výrobu). Je třeba pro dané období stanovit, jaká množství surovin mají být zpracována pomocí jednotlivých výrobních postupů tak, aby bylo vyrobeno alespoň požadované množství výrobků a aby celkové výrobní náklady byly minimální. Předpokládáme linearitu závislostí mezi objemem spotřeby surovin na jedné straně a množstvím výrobků a celkovými náklady na druhé straně. TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Veličiny modelu Neřiditelné veličiny: aij … množství i-tého výrobku získané zpracováním jednotky suroviny pomocí j-tého postupu bi … nejmenší množství i-tého výrobku, které může být vyrobeno (může být vyrobeno i více) cj … náklady na zpracování jednotky suroviny pomocí j-tého postupu Rozhodovací proměnné: xj … množství suroviny zpracované pomocí j-tého postupu Výsledková proměnná: z … celkové náklady TSOA: Matematické modelování a operační výzkum

TSOA: Matematické modelování a operační výzkum Minimalizovat za podmínek TSOA: Matematické modelování a operační výzkum