Shodná zobrazení

Shodné zobrazení (shodnost) Definice: Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí:  X´Y´ =  XY Dělení shodností: Přímá shodnost Nepřímá shodnost

Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz) SHODNÁ ZOBRAZENÍ Přímá shodnost Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz) C M Platí: AB =  KL  BC =  LM  AC =  KM  A B K L C M Platí: AB =  KL  BC =  LM  AC =  KM  A B K L

Identické zobrazení (identita) SHODNÁ ZOBRAZENÍ Identické zobrazení (identita) zvláštní případ shodnosti přiřazuje bodu X dané roviny bod X´s ním totožný: X´ = X

SHODNÁ ZOBRAZENÍ Shodné zobrazení, které není identitou, lze realizovat pohybem (přemístěním). Př. 1: Př. 2:

Pouhým otočením či posunutím vzoru (ABC) dostaneme obraz (KLM). SHODNÁ ZOBRAZENÍ Obr. :přímá shodnost Pouhým otočením či posunutím vzoru (ABC) dostaneme obraz (KLM). C M Platí: AB =  KL  BC =  LM  AC =  KM  A B K L Obr. : nepřímá shodnost Obraz (KLM) dostaneme překlopením, tedy zrcadlovým obrazem (ABC). C M Platí: AB =  LK  BC =  KM  AC =  LM  A B K L zrcadlo

Typy shodných zobrazení: Středová souměrnost Osová souměrnost Posunutí SHODNÁ ZOBRAZENÍ Typy shodných zobrazení: Středová souměrnost Osová souměrnost Posunutí Otočení

Středová souměrnost Definice: Nechť je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že platí: 1) pro X  S; X´leží na přímce XS a X´S=XS 2) pro X = S; X´ = X =S Zápis: S(S): X→ X´

Obraz bodu: S(N):A → A´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST n x A x N x A´ Z definice víme: 1. AN =  A´N  2. N je střed úsečky AA´ Postup konstrukce: A,N ⇥ AN n; n(N;  AN ) A´; A´ n  ⇥ AN n x A x N x A´

Obraz úsečky: S(N):AB → A´B´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1. AN =  A´N  1. BN =  B´N  2. N je střed úsečky AA´ 2. N je střed úsečky AB´ Postup konstrukce: AB,N ⇥ AN 3. n; n(N;  AN ) 4. A´; A´  n  ⇥ AN 5. ⇥ BN 6. m; m(N;  BN ) 7. B´; B´ m  ⇥ BN 8. A´B´ x B n m x A x N x A´ x B´

Obraz kružnice: S(N):k(O,r) → k´(O´, r) STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1. ON =  O´N  2. N je střed úsečky OO´ 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) m k Postup konstrukce: 1. k(O,r), N 2. přímka ON 3. m; m(N,ON) 4. O´; O´ n  přímka ON 5. k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce 6. X; X  k (libovolný) 7. X´; S(N): X → X 8. k´; k´(O´,X´O) k´ X X O X N X O´ X X´

Obraz útvaru: S(N):u → u´ STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: S(N): ABC →  A´B´C´ Postup konstrukce: ABC, N A´; S(N):A → A´ B´; S(N):B → B´ C´; S(N):C → C´  A´B´C´ X B´ C X A´ X N A X C´ B

Osová souměrnost Definice: Nechť je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz bod X´ tak, že platí: 1) pro X  o; X´leží na kolmici k ose o a osa o půlí úsečku X´X (tj. oX= oX´ 2) pro X  o; X´= X Zápis: O(o): X → X´

Zobrazení bodu: O(o):A A´ OSOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: 1. A, o 2. p; p  o; Ao 3. P; Po  p 4. k; k(P; XP) 5. A´; A´ p  k X A k X P X A´ o p

Obraz úsečky: O(o):AB → A´B´ OSOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1.A´ leží na přímce kolmé k ose o. 3.B´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. 4. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: AB, o a; a  o; Ao P; P  a  o k; k(P; XP) A´; A´ a  k b; b  o; Bo Q; Qo  p l; l(Q; XQ) B´; B´ b  l A´B´ l X B X Q X A X B´ X P b X A´ a o k

Obraz kružnice: O(o):k(S,r) → k´(S´, r) OSOVÁ SOUMĚRNOST Z definice víme: 1. O´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku OO´. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) Postup konstrukce: k(S,r), o p; p  o; S o P; P  p  o l; l(P; SP) S´; S´ l  p k´; k´(S´, r) Přesnější konstrukce: 6. X ; X k (X je libovolný) 7. O(o):X → X´ 8. k´; k´(S´,S´X´) k´ p l x S´ x X´ x X x P k x S o

Obraz útvaru: O(o):u → u´ OSOVÁ SOUMĚRNOST Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: O(o): ABC →  A´B´C´ C Postup konstrukce: ABC, N A´; O(o):A → A´ B´; O(o):B → B´ C´; O(o):C → C´  A´B´C´ x A B = B´ o x C´ x A´

Posunutí Definice: Nechť je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému, bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že XX´ = AB, XX´AB a jsou souhlasně orientované. Předpis: T(AB): X → X´

Zobrazení bodu: T(AB): X  X´ POSUNUTÍ Z definice víme: XX´ a AB jsou souhlasně orientované XX´ = AB k Postup konsturkce: 1. AB, X 2. ⇥ XY; XY  AB 3. k; k(X, AB) 4. X´; X´ k  p x A x B x X x X´ x Y

Obraz úsečky: T(AB):KL → K´L´ POSUNUTÍ Z definice víme: KK´ a AB jsou souhlasně orientované. LL´ a AB jsou souhlasně orientované. KK´ = AB , LL´ = AB. Postup konstrukce: 1. AB, KL 2. ⇥ KX; KX  AB 3. k; k(K, AB) 4. K´; K´ k  ⇥ KX 5. ⇥ LY; LY  AB 6. l; l(L, AB) 7. L´; L´ l  ⇥ LY 8. K´L´ xB xA xX x K´ xK xY x L´ xL k l

Obraz kružnice: T(AB):k(S,r) → k´(S´, r) POSUNUTÍ Z definice víme: 1. SS´ je souhlasně orientovaná s AB 2.  SS´ = AB. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) l Postup konstrukce: 1. AB, k (S,r) 2. ⇥ SX; SX  AB 3. l; l(S, AB) 4. S´; S´ l  SX 5. k´; k´( S´, r) Přesnější konstrukce: 5. K; K  k (K libovolný) 6. ⇥ KY; KY  AB 7. m; m(K, AB) 8. K´; K´ m  KY 9. k´; k´(S, SK) x A x B k´ k x S x S´ x X x K x K´ x Y m

Obraz útvaru: T(AB):u → u´ POSUNUTÍ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: T(AB): KLM →  K´L´M´ xA Postup konstrukce: KLM, AB K´; T(AB): K → K´ L´; T(AB): L → L´ M´;T(AB): M → M´  K´L´M´ xB M M´ x K x K´ L x L´

Otočení Definice: Nechť je dán bod S a úhel α. Otočení v rovině kolem středu S o úhel α v daném smyslu (kladném, resp. záporném) je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz X´ tak, že platí: 1. je – li X  S, leží X´na polopřímce SY, která je ramenem úhlu XSY a přitom  XSY = α Ů SX´ = SX 2. X = S, je X´ = X Zápis: R(S, α): X → X´

Zobrazení bodu: R(S, α): X → X´ OTOČENÍ Z definice víme:   XSX´ = α (tj. X´ leží na rameni SY úhlu  XSY , který je stejně velký, jako úhel α)  SX´ = SX  α Postup konstrukce: S, α, X ⇥ SX XSY;  XSY = α k; k(S,SX) X´; X´ k  ⇥ SY k x S x X´ x Y x X

Zobrazení bodu: R(S, α): AB  A´B´ OTOČENÍ OTOČENÍ Z definice víme:   ASA´ = α (tj. X´ leží na rameni SX úhlu  ASX , který je stejně velký, jako úhel α)  SA´ = SA   BSB´ = α (tj. X´ leží na rameni SX úhlu  BSY , který je stejně velký, jako úhel α)  SB´ = SB x Y l α k Postup konstrukce: S, α, AB ⇥ SA ASX;  ASX = α k; k(S,SA) A´; A´ k  ⇥ SA ⇥ SB BSY;  BSY = α l; l(S,SB) B´; B´ l  ⇥ SB A´B´ x B´ x B x X x S x A´ x A

Obraz kružnice: R(S, α): k(O,r) → k´(O´,r) OTOČENÍ Z definice víme:   XSX´ = α (tj. X´ leží na rameni SY úhlu  XSY , který je stejně velký, jako úhel α)  SX´ = SX  Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) n α Postup konstrukce: S, α, k(O,r) ⇥ SO OSX;  OSX = α m; m(O,OS) O´; O´ m  ⇥ SA k´; k´(O´,r) Přesnější konstrukce: K; K  k (libovolný) ⇥ SK KSY;  KSY = α n; n(S,SK) K´; K´ n  SK k´; k´(O´,K´O´) m k´ x X x O´ x S k x O x K´ x Y x K

Obraz útvaru: R(S, α): u → u´ OTOČENÍ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př.: P(S,a): KLM →  K´L´M´ Postup konstrukce: KLM, S, a K´; R(S, α): K → K´ L´; R(S, α): L → L´ M´; R(S, α): M → M´  K´L´M´ M´ x M α K K´ x x L´ x S L

Konec prezentace Děkuji za pozornost.