tečna funkce y = f(x) T = [xt, yt] normála funkce y = f(x) ά Tečny a normály funkce Zobrazení tečny a normály Vzorce vztahující se k výpočtu t. a n. pomocí derivace funkce osa y y = f(x) Jestliže směrnici tečny zapíšeme vzorcem, tečna funkce y = f(x) Y = kx + q pak pro směrnici „k“ platí vzorec T = [xt, yt] k = tg ά normála funkce y = f(x) ά osa x Rovnici tečny funkce f(x) v bodě jejího dotyku (T) spočítáme podle vzorce t: y – yT = kt * (x – xT) Směrnici tečny vypočteme tak, že derivujeme funkci y a za x dosadíme hodnotu x v bodě T. Vzorec zapíšeme takto: kT = y´(xT) Rovnice normály funkce f(x) v bodě jejího dotyku (T) má vzorec obdobný n: y – yT = kn * (x – xT) Vzorec pro směrnici normály pak zní kn = - 1 kt

Postup při výpočtu tečny a normály k funkci f(x) Tečny a normály funkce Postup při výpočtu tečny a normály k funkci f(x) Dopočítáme druhou souřadnici bodu dotyku křivky grafu a tečny funkce (T = [xt, ?) (do zadané funkce prostě dosadíme známou hodnotu (xt se bude rovnat x) vypočítáme derivaci funkce f(x) zjistíme směrnici tečny kt a směrnici normály kn (do derivované funkce dosadíme známou hodnotu xt ) Zapíšeme obecnou rovnici tečny a normály kT = y´(xT) kn = - 1 kt t: y – yT = kt * (x – xT) n: y – yT = kn * (x – xT) ax + by + c = 0 Pozn.: Pokud je nám známa funkce (x) a rovnice přímky rovnoběžná s tečnou funkce (x), a máme určit obecnou rovnici tečny, pak postup trochu pozměníme. Z rovnice přímky vypočteme směrnici (všechny rovnoběžky mají stejnou směrnici) Derivujeme funkci (x) a do takto zderivované funkce dosadíme za y směrnici kt a spočteme xt. xt dosadíme do původní funkce (x) a spočteme yt. Souřadnice bodu T dosadíme do rovnice tečny a vyjádříme ji obecnou rovnicí. Y = kx + q kT = y´(xT) t: y – yT = kt * (x – xT) Pozn.: Pokud je nám známa funkce (x) a rovnice přímky rovnoběžná s normálou funkce (x), a máme určit obecnou rovnici tečny, pak v 1. bodě ještě ze směrnice normály vypočteme směrnici tečny. kn = - 1 kt

Tečny a normály funkce Rozebraný příklad Pozn.: Jako příklad byl použit příklad č 4.2 ze script F. Mošny Zjistěte tečnu a normálu k funkci f v bodě T: Dopočítáme druhou souřadnici bodu dotyku křivky grafu a tečny funkce (T = [xt, ?) (do zadané funkce prostě dosadíme známou hodnotu (xt se bude rovnat x) Tím jsme zjistil, že bod T [xt, yt] má souřadnice [2, 6] vypočítáme derivaci funkce f(x) zjistíme směrnici tečny kt a směrnici normály kn (do derivované funkce dosadíme známou hodnotu xt ) kT = y´(xT) kn = - 1 kt

Tečny a normály funkce t: y – yT = kt * (x – xT) Rozebraný příklad Po dosazení do vzorce zapíšeme obecnou rovnici tečny a normály t: y – yT = kt * (x – xT) n: y – yT = kn * (x – xT) ax + by + c = 0 Zjistěte tečnu k funkci f rovnoběžnou s přímkou p: Y = kx + q kT = y´(xT) t: y – yT = kt * (x – xT)

Zjistěte tečnu k funkci f kolmou k přímce p: Tečny a normály funkce Zjistěte tečnu k funkci f kolmou k přímce p: z přímky p se nejprve vypočte normála funkce, a posléze i směrnice Y = kx + q derivujeme funkci kn = - 1 kt kT = y´(xT) do zderivované funkce dosadíme směrnici tečny, abychom zjistili xt xt dosadíme do původní funkce a vypočteme yt.

Tečny a normály funkce t: y – yT = kt * (x – xT) do rovnice tečny dosadíme souřadnice bodu dotyku a vypočteme ji t: y – yT = kt * (x – xT)