INVESTIČNÍ MATEMATIKA VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s.

DLUHOPISOVÉ PORTFOLIO DURACE Je aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise.

průměrná doba do splatnosti průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova)

Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10% Doba do splatnosti Kuponová sazba c: 5% 10% 15% 1 1,000 3 2,849 2,7355 2,6472 5 4,1699 10 6,759 20 9,3649 50 10,9063 100 10,9992

- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena dluhopisu opačným směrem při změně výnosů

Durace je tím nižší čím: vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti dříve platba z daného instrumentu nastává kratší je celková doba do splatnosti

čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem: 1. PV ↑  y↓ 2. PV ↓  y↑

Př: Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu, jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive zvýší o 1%.

Při změně ve výnosech hrozí: a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výnosy) b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se výnosy)

Investiční horizont: krátký  utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů (kapitálová ztráta  výnos z reinvestice) dlouhý  utrpíme ztrátu při poklesu výnosů (ztráta z reinvestice  kapitálový výnos)

Snaha o eliminaci obou uvedených rizik (imunizace): Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů.

Durace kupónového dluhopisu je vážený průměr durací (dob do splatnosti) jednotlivých peněžních toků reprezentovaných kupóny a nominální hodnotou, kde váhy odpovídají podílu jednotlivých diskontovaných peněžních toků na celkové ceně dluhopisu.

Durace kupónového dluhopisu je střední (průměrná) doba života tohoto dluhopisu.

Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.

D = w1D1 + w2D2 + …. + wnDn

Př: Chceme investovat částku 1. 000 Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na dobu 3 let, přičemž k dispozici máme bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, B, C takto: A… n = 3, FV = 1.157.625 Kč B… n = 2, FV = 551.250 Kč n = 4, FV = 607.753 Kč C… n = 1, FV = 525.000 Kč n = 5, FV = 638.141 Kč

A B C 5% 1.000.000 P Y (%)

Konvexita portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr konvexit jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.

CX =

Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o větší výnos (korunový i procentní) než o kolik klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1%

Př: Chceme investovat částku 1. 000 Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč, přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B s následujícími parametry: A: n = 5, c = 12%, y = 12% B: n = 2, c = 0%, y = 10% Jak budeme investovat na 3 roky?

AKCIOVÉ PORTFOLIO Investiční strategie, kdy je optimalizován výnos vzhledem k riziku investice.

Akcie – A1, A2, A3, … Váhy – a1, a2, a3, … Výnosové procento – rp (průměrná míra zisku) Riziko – σp směrodatná odchylka Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma nebo více proměnnými Kovariance – statistický pojem odvozený od běžného rozptylu, který popisuje rozsah, v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou měrou

Kovarianční koeficient – σij Korelační koeficient – ρij

Rozptyl: součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru dělený počtem hodnot (σ2). Směrodatná odchylka: druhá odmocnina rozptylu (σ).

Př: Je dáno portfolio P s vahami a1 = 0,7 a a2 = 0,3 a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry: Varianta Pravděpodobnost Výnos A1 Výnos A2 1 0,1 1% 3% 2 0,2 12% 28% 3 0,3 6% 14% 4 0,4 -2% -5% a) nalezněte výnos a riziko portfolia P b) nalezněte kovarianční matici

Korelační koeficient: dokonalá pozitivní korelace dokonalá negativní korelace výnosová procenta nekorelují ρij = 1 ρij = - 1 ρij = 0

Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty akcií: 2 4 -2 6 -1 8 A2 3 5 1 7 A1 2 4 -2 6 -1 8 A2 9 -3 7 A1 1 3 A2

Riziko portfolia : Směrodatná odchylka

Kovarianční matice:

Př: Jsou dány kovariance σ12 = -3, σ21 = 6 a rizika σ1 = 5, σ2 = 10. Určete kovarianční matici a riziko portfolia, jestliže a1 = 0,7 a a2 = 0,3. Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy prohodí?

termínované kontrakty – plnění v budoucnosti DERIVÁTY Forvardové kontrakty – forvardy Opční kontrakty – opce termínované kontrakty – plnění v budoucnosti

Forvard – „závazek“ koupit či prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu - k dohodnutému datu

Opce – „právo“ koupit či prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu - k dohodnutému datu

Forvard: - mám závazek koupit – dlouhá pozice ( long position ) - mám závazek prodat – krátká pozice ( short position )

F – cena forvardu S – obchodní cena T – okamžik uzavření kontraktu t - okamžik uzavření obchodu r – spojitá roční úroková míra Ft = St er (T-t)

Př: Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž roční forwardová cena je rovna Ft = 22.000 Kč při roční úrokové míře 8%. Jakým způsobem tuto situaci využijeme?

Futures kontrakty: standardizované – všichni nakupují (prodávají) stejný kontrakt na předem stanovený počet akcií, vypořádaný ke stejnému datu a většinou garantovaný burzou či jinak

Riziko ztráty: dlouhá pozice (koupit) – musím koupit, i když cena akcií poklesne - ( ST – Ft ) krátká pozice (prodat) – musím prodat, i když cena akcií stoupne - ( Ft – ST )

Zisk Ft ST Dlouhá Krátká

Opce – „právo“ koupit či prodat Call opce (nákupní) – právo koupit - určitý počet akcií - za určenou cenu X - k dohodnutému datu

Put opce (prodejní) – právo prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu X - k dohodnutému datu

dlouhá pozice – kupuje krátká pozice – prodává

Evropská – opce může být uplatněna pouze v čase T Americká – opce může být uplatněna i před časem T

Call opce uplatněna právě tehdy když ST > X – zisk = max { ST - X ; 0} zisk cena X call

Put opce uplatněna právě tehdy když ST < X – zisk = max { X - ST; 0} zisk cena X put

Platba za vstup do dlouhé pozice – „c“ zisk cena X Call long -c

zisk cena X Call short c

zisk cena X Put long -c

zisk cena X Put short c