Trojúhelník – I.část Mgr. Dalibor Kudela Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5. Výuková sada – Matematika, DUM č.05

Trojúhelník Trojúhelník je mnohoúhelník, který má právě tři strany a tři vrcholy. Strany značíme malými písmeny , vrcholy velkými písmeny . Rozdělení trojúhelníků: A: podle úhlů - ostroúhlý - tupoúhlý - pravoúhlý B: podle stran - rovnoramenný - rovnostranný - obecný

Ostroúhlý trojúhelník C Všechny vnitřní úhly jsou ostré  a b A B c

Tupoúhlý trojúhelník C  a b c A B Právě jeden vnitřní úhel je tupý , zbývající dva úhly jsou ostré  a b c A B

Pravoúhlý trojúhelník B Právě jeden vnitřní úhel je pravý – 90°, zbývající dva úhly jsou ostré c a c - přepona a - odvěsna b - odvěsna 90° A C b

Rovnoramenný trojúhelník C r - ramena z - základna (má jiný rozměr než ramena) výška na základnu půlí tuto základnu r r v . B A z

Rovnostranný trojúhelník C všechny strany mají stejnou délku všechny vnitřní úhly mají velikost 60° a a a B A

Obecný trojúhelník b c A C B a  α +ß +  = 180° Každá strana a každý úhel mají jinou velikost Součet všech vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180° b c A C B a  α +ß +  = 180° a + b > c a + c > b b + c > a Součet délek libovolných dvou stran trojúhelníku je větší než délka strana třetí. ( Trojúhelníková nerovnost)

Výška C b a A c B Pa va Pb vb vc Pc Výška trojúhelníku je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata kolmice. Každý trojúhelník má tři výšky. C Pa . b va a Pb . vb vc . Pc A c B

Výška u tupoúhlého trojúhelníku C Dvě výšky u tupoúhlého trojúhelníku leží vně trojúhelníku. a b vc va . . c A B vb .

Těžnice Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. C a tc Každý trojúhelník má tři těžnice. Všechny těžnice se protínají v těžišti. Těžiště rozděluje těžnici v poměru 2:1. Sb Sa T b tb ta A c B Sc

Střední příčka Střední příčka je úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku. C a Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a její délka je polovinou této strany. Sb sc Sa b sa sb A c Sc B

Kružnice vepsaná a opsaná trojúhelníku Každému trojúhelníku lze vepsat a opsat kružnici. b c A C B a

Konstrukce kružnice vepsané trojúhelníku Střed kružnice vepsané je průsečíkem os jeho vnitřních úhlů a b A B c

Konstrukce kružnice opsané trojúhelníku Střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran C a b c B A

Úkol Sestrojte trojúhelník ABC, jehož strany mají délky: a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm. V tomto trojúhelníku sestrojte těžnici ta, výšku vc a střední příčku sa, která je rovnoběžná se stranou a. Sestrojte tupoúhlý trojúhelník KLM jehož strany mají délky: k = 4 cm, l = 8 cm, m = 10 cm. V tomto trojúhelníku sestrojte výšky vk a vl . Sestrojte trojúhelník ABC, jehož strany mají délky: a = 8 cm, b = 6,5 cm, c = 10 cm a vepište mu kružnici. Sestrojte trojúhelník ABC, jehož strany mají délky: a = 5 cm, b = 4,5 cm, c = 6 cm opište mu kružnici.