Téma 5 Metody řešení desek, metoda sítí. Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma 5 Metody řešení desek, metoda sítí. Metody řešení desek Metoda sítí Diferenční vztahy Okrajové podmínky Sestavení rovnic Výpočet průhybů a měrných složek vnitřních sil Kruhové a mezikruhové desky Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Řešení desek metodou sítí, metoda sítí (diferenční metoda) Desková rovnice parciální diferenciální rovnice 4. řádu, lineární nehomogenní (má pravou stranu) eliptického typu Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonická funkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích.

Řešení desek metodou sítí, vytvoření sítě

Řešení desek metodou sítí, diferenční vztahy

Řešení desek metodou sítí, desková rovnice po dosazení diferenčních vztahů

Řešení desek metodou sítí, diferenční schéma (součinitele deskové rovnice po nahrazení derivací průhybu diferenčními vztahy)

Řešení desek metodou sítí, diferenční schéma (součinitele deskové rovnice po nahrazení derivací průhybu diferenčními vztahy)

Výpočet měrných složek vnitřních sil Známe-li hodnoty průhybu wi,j v bodech sítě i,j, pak lze z diferenčních vztahů vypočíst měrné složky vnitřních sil:

Okrajové podmínky, vetknutý okraj desky Na vetknutém okraji rovnoběžném s osou y platí: Na vetknutém okraji rovnoběžném s osou x platí:

Okrajové podmínky, prostě podepřený okraj desky Na prostě podepřeném okraji rovnoběžném s osou y platí: Na prostě podepřeném okraji rovnoběžném s osou x platí:

Okrajové podmínky, volný okraj desky Na volném okraji rovnoběžném s osou y platí:

Okrajové podmínky, volný okraj desky, pokračování Na volném okraji rovnoběžném s osou y platí: Dle obr. pro bod 2 je:

Postup výpočty desky metodou sítí 1. Nakreslí se výpočetní model stěny 2. Označí se uzly desky jako průsečíky zvolených přímek tvořících síť 3. Určí se dle okrajových podmínek hodnoty w i mimo obrys desky 4. Sestaví se matice pro výpočet hodnot průhybu w v jednotlivých bodech sítě 5. Řeší se soustavu lineárních rovnic. Jejich počet odpovídá počtu uzlů sítě. Výsledkem jsou hodnoty průhybu w v uzlech sítě.

Postup výpočty stěny metodou sítí 6. Hodnoty průhybu w v jednotlivých bodech sítě jsou podkladem pro výpočet měrných složek vnitřních sil. 7. Provede se kontrola vypočtených hodnot měrných složek vnitřních sil, zejména na okrajích desky. 8. Vypočtou se hodnoty maximálních ohybových momentů a jejich směry a maximální kroutící momenty 9. Dle potřeby se vypočtou hodnoty napětí.

Příklad výpočtu desky metodou sítí Prostě podepřená čtvercová deska přenáší rovnoměrné zatížení p dle obr. Vypočtěte přibližný tvar ohybové plochy a průběhy ohybových momentů v řezu y=0 Řešení: využijeme středové symetrie, neznámé se redukují na w1, w2 a w3. Dále platí: wa=-w2, wb=-w3 Soustava rovnic má tvar:

Příklad výpočtu desky metodou sítí, pokrčování Rovnice lze upravit: Řešením je:

Příklad výpočtu desky metodou sítí, pokračování Ohybové momenty v ose x v řezu y=0 tj. v bodech 1 a 2 vypočteme:

Kruhové a mezikruhové desky Při jejich řešení je vhodné použití válcových souřadnic. V půdoryse je poloha určena polárními souřadnicemi r a  ve válcových souřadnicích přibývá ještě souřadnice z. Posuvy v jejich směrech jsou u, v a w. Měrné vnitřní síly jsou obecně: mr ohybové momenty radiální m ohybové momenty tangenciální mr kroutící momenty qr posouvající síly radiální q posouvající síly tangenciální

Kruhové a mezikruhové desky (rotačně symetrické) U rotačně symetrických úloh se předpokládá: rotačně symetrické podepření rotačně symetrické zatížení izotropní nebo rotačně anizotropní vlastnosti materiálu desky U rotační symetrie jsou všechny veličiny funkcí jediné proměnné r Posunutí v je nulové Nenulové měrné vnitřní síly jsou: mr ohybové momenty radiální m ohybové momenty tangenciální qr posouvající síly radiální

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, geometrické a fyzikální rovnice Předpoklady Kirchhoffovy teorie zůstávají v platnosti Po dosazení do Hookova zákona je :

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, měrné ohybové momenty Při znalostí normálových napětí odvodíme integrací momentových účinků po tloušťce desky měrné ohybové momenty:

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, podmínky rovnováhy U radiálně symetrických úloh stačí formulovat podmínky rovnováhy pouze dvě, a to silovou ve směru osy z a momentovou k tečné ose. K radiální ose je podmínky rovnováhy splněna identicky. Po úpravách platí: respektive

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, podmínky rovnováhy, rozpis 23

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, desková rovnice Do rovnice: se dosadí příslušné derivace radiálního a tangenciálního momentu: Po úpravě se dostane desková rovnice ve tvaru:

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, desková rovnice, rozpis 25

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, desková rovnice Obecné řešení Eulerovy lineární, nehomogenní diferenciální rovnice 4. řádu je: C1, C2, C3, C4 jsou integrační konstanty, vyplývající z okrajových podmínek wo je partikulární integrál, představuje řešení úplné deskové rovnice, ostatní členy představují řešení homogenní rovnice (bez pravé strany) D je desková tuhost

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, desková rovnice Deskovou rovnici lze upravit na tvar: Úpravou lze získat partikulární integrál základní rovnice: 27

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, desková rovnice Pro p= konst. lze z partikulárního integrálu odvodit: 28

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, desková rovnice Pro lze z partikulárního integrálu podobně odvodit: 29

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, partikulární řešení deskové rovnice Partikulární řešení rovnice desky pro případy dle obr.: O správnosti těchto řešení se lze přesvědčit dosazením do deskové rovnice wo(r) představuje tzv. partikulární integrál, tedy libovolné řešení úplné rovnice včetně pravé strany

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, měrné posouvající síly Z rovnice lze odvodit po dosazení za měrné ohybové momenty měrnou posouvající sílu qr:

Kruhové a mezikruhové desky rotačně symetrické, okrajové podmínky Integrační konstanty C1, C2, C3 a C4 vyplývají z okrajových podmínek. Opět platí: prosté podepření w=0, mr=0 vetknutí w=0, w´=0 volný okraj mr=0, qr=0

Základní vztahy pro radiálně symetrické kruhové a mezikruhové desky

Příklad 1, radiálně symetrická kruhová deska rovnoměrně zatížená, na okraji vetknutá Pro Pro Pro

Příklad 1, deska rovnoměrně zatížená, na okraji vetknutá Po dosazení integračních konstant je: a dále:

Příklad 2, mezikruhová deska zatížená a podepřená dle obr.

Příklady plných desek RS

Příklady mezikruhových desek RS

Příklad 3, prostě podepřená deska zatížená ve svém středu břemenem V daném případě:

Příklad 3, prostě podepřená deska zatížená ve svém středu břemenem

Příklad 3, prostě podepřená deska zatížená ve svém středu břemenem Každé osové zatížení působí na určité ploše Při rovnoměrném rozložení síly na ploše o poloměru b platí přibližně: