Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval: Jan HAMERNÍK M – T V T / Z Š 3 . r o č n í k Kvadratické funkce
Kvadratická funkce Příklad 1: Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší. hospodářská budova výběh x 18 – 2x
Řešení: Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku x metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů. Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).x Sestavíme si tabulku: x 1 2 3 4 5 6 7 8 (18 – 2x).x 16 28 36 40
Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic O x y Obrázek zřetelně ukazuje na syme- trické rozložení bodů podle přím- ky rovnoběžné s osou y a vedené bodem [4,5;0]. Odtud se dá usoudit, že ho- dnota výrazu (18 – 2x) . x je maximální pro x = 4,5.
Je tomu ale skutečně tak? Upravíme výraz (18 – 2x) . x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: (18 – 2x) . x = – 2x2 + 18x = – 2(x2 – 9x + 4,52 – 4,52) = = – 2(x2 – 9x + 4,52) + 2 . 4,52 = – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 Výraz – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x 4,5 je totiž – 2(x – 4,5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 < 40,5 O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru.
Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru y = ax2 + bx + c, kde a R – {0}, b, c R
Příklad č. 2: Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v = 50 m.s-1. Určete, jaké největší výšky dosáhne. (Užijte vzorec ; g = 10 m.s-2.
Řešení: Použijeme výše uvedený vzorec: Dále využijeme zadané g = 10 m.s-2 Zbývá nám tedy spočítat proměnnou t. Dosadíme do vzorce: Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m
Příklad č. 3: Výkon P turbíny závisí na počtu n otáček za sekundu. Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem P = n - n2, kde = 0,455 43 m2.kg.s–2, = 0,455 43 m2.kg.s-1.
Příklad č. 4: Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy; b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.
Grafy kvadratických funkcí
Uvažujme kvadratickou funkci g: y = x2 Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné Oxy.
Obr.1 Obr. 2
Grafem kvadratické funkce y = x2 je nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola. Z obrázku lze usoudit, že funkce y = x2 má tyto vlastnosti: jejím oborem hodnot je interval 0,+; funkce je v intervalu ;0 klesající, v intervalu 0,+ rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.
Příklad č. 1: Obr. 3 Na obrázku je graf funkce h1: . Sestrojte pomocí něho graf funkce h2: . Obr. 3
Řešení: Pro každé x R je h2(x) = h1(x) – 3; např. pro x = – 2 je Ke grafu funkce h2 dospějeme tedy od grafu funkce h1 posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy y.
Obr. 4
Příklad č. 2: Sestrojte graf funkce h3: , a to opět využitím Řešení: grafu funkce h1: Graf funkce h1. Řešení: Pro každé x R je h3(x – 1) = h1(x); např. pro x = 3 je Jestliže funkce h1 nabývá nějakou hodnotu v bodě x, nabývá tutéž hodnotu funkce h3 v bodě x – 1 Graf funkce h3 získáme z grafu funkce h1 posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy x.
Obr. 5
Příklad č. 3: Řešení: Sestrojte graf funkce h5: . Nejdříve upravíme výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Řešení:
Obr. 6
Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c? Upravíme nejprve výraz ax2 + bx + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: Sestrojíme graf funkce f1: y = ax2. Sestrojíme graf funkce
a to z grafu funkce f1 pomocí posunutí o jednotek ve směru osy x, přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru záporné poloosy x, pro < 0 o posunutí ve směru kladné poloosy x, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy x),
a o jednotek ve směru osy x, přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru kladné poloosy y, pro < 0 o posunutí ve směru záporné poloosy y, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy y,
Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c v závislosti na hodnotách a. Funkce y = ax2 + bx + c (a 0)
Obr. 7 a > 0 Oborem hodnot je . Je rostoucí v . Je klesající v . Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě má minimum.
Obr. 8 a < 0 Oborem hodnot je . Je rostoucí v . Je klesající v . Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě má maximum.
Příklad č. 3: Načrtněte grafy grafy těchto funkcí: y = x2 – 2x + 3 y = – x2 – 6x – 8 y = – 2x2 + 5x – 1 y = – 0,5x2 + x + 2 y =
Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic
Příklad č. 1: Řešte nerovnici s neznámou x R Řešení: Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar:
x1 = – 3, x2 = 2 Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici x1 = – 3, x2 = 2
Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce má v nějakém bodě maximum (koeficient u x2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“. Obr. 9
Příklad č. 2: Řešte nerovnici s neznámou x R Řešení: Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v R žádné řešení. Nejsme ve slepé uličce?
Graf kvadratické funkce nemá s osou x žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna x R. Obr. 10
Příklad č. 3: S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou x R. x2 – 5x + 6 0 2x2 – 5x + 2 < 0 – 2x2 + 6x – 9 0 x2 – 2x + 3 < 0