Výpočet vnitřních sil lomeného nosníku - B Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Výpočet vnitřních sil lomeného nosníku - B Lomený nosník v rovinné úloze Kontrola rovnováhy uvolněného styčníku Vnitřní síly na uvolněném prutu Prostorově lomený nosník Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Příklad 1 - zadání + reakce Q = 4kN q = 1kN/m c e P1 = 2kN 2 P2 = 3kN f g d Kontrola: 2 = 3,25kN = 2,75kN = 3kN Raz Rbz Rax a b 1,5 4 Čárkované čáry: pomyslná spodní vlákna pokud nejsou zadaná, sami vhodně volíme

Příklad 1 - normálové síly U lomeného nosníku nemusíme zapisovat 0 na prutu, u kterého je nulová vnitřní síla (tady prut gd) = 3,25kN = 2,75kN = 3kN 1,5 4 2 P1 = 2kN P2 = 3kN q = 1kN/m a b c d e f g Q = 4kN Raz Rbz Rax + N Nec=3 Nce=3 c e Nca Nec -1,25 + g d Ndc Nda Ndg=0 f Normálové síly určujeme z kratší strany: a b - 3,25 -2,75 Alternativně z druhé strany:

Příklad 1 - posouvající síly V + Příklad 1 - posouvající síly V = 3,25kN = 2,75kN = 3kN 1,5 4 2 P1 = 2kN P2 = 3kN q = 1kN/m a b c d e f g Q = 4kN Raz Rbz Rax n xn xn´ Vce=1,25 1° Vca=3 Vef=-3 e c + Vec=-2,75 Vdc=3 g d f -3 -2 Vdg=-2 a b 3 Vn = 0 = Vce - q.xn xn = 1,25 m Vn = 0 = Vec+ q.xn´ xn´= 2,75 m Posouvající síly z kratší strany (nejlépe co nejvíc zleva): Alternativně z druhé strany: není konst. po celém prutu →

Příklad 1 - ohybové momenty (trojný styčník d ) Q = 4kN q = 1kN/m + c Mc=9 e c e Mdg=-3 P1 = 2kN Mdc =3 1° 2 P2 = 3kN g Mda=6 f d f + g d 2 a b Rax = 3kN Vyšrafovat kolmo na střednici nosníku a b Raz = 3,25kN Rbz = 2,75kN 1,5 4 Ohybové momenty z kratší strany: kontrola momentů v trojném styčníku d: V trojném styčníku tři hodnoty momentu, nutno značit pomocí dvou indexů-druhý index značí, na kterém ze 3 prutů moment působí. 3 Mdg = -P1 .1,5 ∑Mid = 0 3 Mda = Rax . 2 d Mdc = -P1 .1,5 + Rax . 2 6

Příklad 1 - ohybové momenty 6 c 9 e xn xn´ = 3,25kN = 2,75kN = 3kN 1,5 4 2 P1 = 2kN P2 = 3kN q = 1kN/m a b c d e f g Raz Rbz Rax 1° 6 -3 9 1° 1° 3 Mn 2° f g vodorovná tečna d 6 1° a b Vyšrafovat kolmo na střednici nosníku U dvojných styčníků píšeme značení momentů pouze s jedním indexem jako u jakéhokoliv jiného průřezu, je to jeden bod a hodnota ohybového momentu zleva i zprava jsou stejné. Výpočet extrémního momentu: (momenty všech sil zleva nebo zprava k průřezu n) MnL= -P1 .(1,5+xn)+ Rax.4+ Raz .xn-q.xn2 / 2 MnP = Rbz . x´n + P2.2 – q.x´n2 / 2 = 9,78kNm M v polovině prutu = 9,5kNm

Příklad 1 - uvolnění prutu M Příklad 1 - uvolnění prutu n 9 6 xn xn´ c e q = 1kN/m 1° 6 -3 c e 9 P1 = 2kN 1° 1° 2 g 3 Mn 2° vodorovná tečna f P2 = 3kN d 6 f g d 2 Rax = 3kN 1° a b a b Vyšrafovat kolmo na střednici nosníku Raz = 3,25kN Rbz = 2,75kN 1,5 4 Uvolněný prut ce Vce = Nce = Mc = Vec = Nec = Me = q = 1kN/m c e Výpočet vnitřních sil pomocí uvolnění prutu: Uvolněný prut ce → Vnitřní síly zakresleny v kladné znaménkové konvenci

Příklad 1 - uvolnění prutu M Příklad 1 - uvolnění prutu n 9 6 xn xn´ c e q = 1kN/m 1° 6 -3 c e 9 P1 = 2kN 1° 1° 2 Mn 2° f P2 = 3kN g 3 vodorovná tečna d 6 f g d 2 Rax = 3kN 1° a b a b Vyšrafovat kolmo na střednici nosníku Raz = 3,25kN Rbz = 2,75kN 1,5 4 Vce = +1,25 Nce =3 Mc = 9 Vec = -2,75 Nec = 3 Me = 6 q = 1kN/m c e Výpočet vnitřních sil pomocí uvolnění prutu: Uvolněný prut ce → Vnitřní síly zakresleny v kladné znaménkové konvenci

Příklad 1 - uvolnění prutu – výpočet vnitřních sil Uvolněný prut ce Vnitřní síly zakresleny v kladné znaménkové konvenci Vce = +1,25 Nce =3 Mc = 9 Vec = -2,75 Nec = 3 Me = 6 q = 1kN/m c e x x´ VxL = Vce – q.x = 1,25 – 1.x [kN] VxP = Vec + q.x´ = (-2,75) + 1.x´ [kN] MxL = Mc + Vce . x – q.x2/2 = 9 + 1,25.x – 1.x2/2 [kNm] MxP = Md - Vec . x´ – q.x´2/2 = 6 – (-2,75).x´ – 1.x´2/2 [kNm] Hodnota momentu v nebezpečném průřezu (Vn=0): MnL = Mc + Vce . xn – q.xn2/2 = 9,78 kNm MnP = Me – Vec . x´n – q.x´n2/2 = 6 – (- 2,75) . xn´ - 1.xn´2/2 = 9,78 kNm

Příklad 1 - uvolnění prutu – výpočet vnitřních sil Uvolněný prut ce Vnitřní síly v kladné konvenci Vnitřní síly ve skutečném směru Vce = +1,25 Nce =3 Mc = 9 Vec = -2,75 Nec = 3 Me = 6 q = 1kN/m c e x x´ 1,25 3 9 +2,75 6 q = 1kN/m c e x x´ VxL = 1,25 – q.x [kN] VxP = – 2,75+ q.x´ [kN] MxL = 9 + 1,25.x – q.x2/2 [kNm] MxP = 6 + 2,75.x ´– q.x´2/2 [kNm] Hodnota momentu v nebezpečném průřezu (Vn=0): MnL = 9 + 1,25 . xn – q.xn2/2 = 9,78 kNm MnP = 6 + 2,75 . xn´ - q.xn´2/2 = 9,78 kNm

Příklad 2 - zadání, reakce, normálové a posouvající síly 1 2 q = 15kN/m P1 = 20kN P2 = 15kN a b c d e -35 a b c d e N Vca=20 20 e c d Rax = 15kN Ma = 42,5kNm Raz = 35kN Kontrola: Vce=-15 V (není konstanta na prutu) 15 b Zdola (zleva na ac): a 15 11 11

Příklad 2 - ohybové momenty 1 2 q = 15kN/m P1 = 20kN P2 = 15kN a b c d e momenty v trojném styčníku c (shora) : M a c e d Mce=-7,5 Mcd=-20 -12,5 - 42,5 2° 1° Mca= =-12,5 b Rax = 15kN c 20 7,5 12,5 Ma = 42,5kNm Raz = 35kN Zdola (zleva): Alternativně: 12 12