Podobnost trojúhelníků MATEMATIKA Podobnost trojúhelníků

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-05-06_Planimetrie Autor: Mgr. Jitka Vyhlídalová Tematický okruh: Matematika Ročník: I. Datum tvorby: 01. 2014 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová

Podobnost trojúhelníků U podobných trojúhelníků platí, že každá strana jednoho trojúhelníku je stejným násobkem odpovídající strany druhého trojúhelníku. Trojúhelníky ABC a A´B´C´ jsou podobné, jestliže pro délky jejich strany platí: 𝑎 ´ =𝑘𝑎; 𝑏´=𝑘𝑏; 𝑐´=𝑘c. Číslo k se nazývá poměr podobnosti. Podobnost trojúhelníků zapisujeme pomocí symbolu ∼. Při zápisu podobnosti musíme dodržovat, aby si odpovídaly příslušné vrcholy! větší Je-li poměr podobnosti 𝑘>1 0<𝑘<1 menší 𝑘=1 shodnost

Podobnost trojúhelníků Ověřte, zda jsou podobné trojúhelníky ABC a XYZ, jejichž strany mají délky: 𝑎=3 𝑐𝑚; 𝑏=4 𝑐𝑚; 𝑐=6 𝑐𝑚; 𝑥=4,5 𝑐𝑚; 𝑦=6 𝑐𝑚; z = 9 cm. Př.: Řešení: 𝑍 𝐶 6 𝑐𝑚 4,5 𝑐𝑚 4 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚 𝐴 6 𝑐𝑚 B 𝑋 9 𝑐𝑚 𝑌 𝑥 𝑎 = 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑐 = 4,5 3 = 6 4 = 9 6 = 3 2 ∆ 𝐴𝐵𝐶~∆ 𝑋𝑌𝑍, 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑘𝑎ž𝑑á 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑎 ∆ 𝑋𝑌𝑍 𝑗𝑒 1,5 𝑘𝑟á𝑡 𝑣ě𝑡ší 𝑛𝑒ž 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑎 ∆ XYZ.

Podobnost trojúhelníků O podobnosti dvou trojúhelníků můžeme rozhodnout i na základě následujících vět: ve dvou úhlech věta uu Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměrech stran, ležících na jeho ramenech věta sus

Podobnost trojúhelníků Odůvodněte, že jsou trojúhelníky podobné: 𝐶 𝑎) 𝐹 40° 40 40 30 40° 30 70° 70° 𝐴 𝐵 𝐷 𝐸 ∆ 𝐷𝐸𝐹 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑜𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑛ý 𝛿=𝜀=70° 𝜑=180°− 70°+70° =40° 𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑒 = 40 30 ⋀ 𝛾=𝜑 ∆ 𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹 𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑠𝑢𝑠

Podobnost trojúhelníků Odůvodněte, že jsou trojúhelníky podobné: 𝐶 𝑏) 𝐹 60° 30 30 60° 60° 60° 60° 𝐴 30 𝐵 𝐷 10 𝐸 𝛼=𝛽=𝛾= 180° 3 =60° ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑛ý ∆ 𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹 𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢

Podobnost trojúhelníků Rozhodněte, zda je pravda: Shodují-li se dva trojúhelníky ve všech vnitřních úhlech, pak jsou podobné. Každé dva trojúhelníky jsou podobné. Každé dva rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné. Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. Každé dva rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou podobné. ANO NE ANO NE ANO NE ANO NE ANO NE ANO NE

Podobnost trojúhelníků Pravoúhlý trojúhelník má délky odvěsen 3 cm a 4 cm. Trojúhelník zvětšíme tak, že strany budou o 40% delší. Určete koeficient podobnosti obou trojúhelníků? Jaký je poměr jejich obvodů. Jaký je poměr jejich obsahů? O kolik procent se zvětšil obsah? O kolik procent se zvětšil obvod? Př.: 𝑎) 𝑐 2 = 3 2 + 4 2 𝑎´=3∙1,40=4,2 𝑐𝑚 𝑎´ 𝑎 = 𝑏´ 𝑏 = 𝑐´ 𝑐 =1,40 𝑐= 9+16 𝑏´=4∙1,40=5,6 𝑐𝑚 𝑐=5 𝑐𝑚 𝑐´=5∙1,40=7 𝑐𝑚 𝒌=𝟏,𝟒𝟎 𝑏) 𝑜=3+4+5=12 𝑐𝑚 𝑜´=4,2+5,6+7=16,8 𝑐𝑚 𝑜´ 𝑜 = 16,8 12 = 4,2 3 =1,4 Poměr obvodů je 1,40.

Podobnost trojúhelníků 𝑐) 𝑆 1 = 3∙4 2 =6 𝑐𝑚 2 𝑆 2 = 4,2∙5,6 2 =11,76 𝑐𝑚 2 𝑆 2 𝑆 1 = 11,76 6 =1,96= 𝟏,𝟒 𝟐 𝑑) 6 𝑐𝑚 2 …………100 % 11,76 𝑐𝑚 2 …………x% 𝑥= 11,76∙100 6 =196 % 196−100=𝟗𝟔 % 𝑒) 12 𝑐𝑚 ………….100 % 16,8 𝑐𝑚 …………𝑥 % 𝑥= 16,8∙100 12 =140 % 140−100=𝟒𝟎 %

Podobnost trojúhelníků Trojúhelníky ABC a ALM jsou podobné podle věty uu. Určete délku strany LM, jestliže platí: 𝐵𝐶 =15 𝑚; 𝐶𝐴 : 𝑀𝐴 =3 :2. 𝐵 𝑀 ⊾ ⊾ 𝐶 𝐴 𝐿 Vnitřní úhly při vrcholu A jsou vrcholové shodné 𝐶𝐴 𝑀𝐴 = 𝐵𝐶 𝐿𝑀 = 3 2 15 𝐿𝑀 = 3 2 ∆ 𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴𝐿𝑀 𝐿𝑀 = 15∙2 3 =10 Strana LM má délku 10 cm.

Anotace: Tato prezentace slouží k procvičení vět o podobnosti trojúhelníků. Žák určuje s využitím vět o podobnosti trojúhelníků, zda jsou trojúhelníky podobné. Použité zdroje: doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 1. díl, 1. vydání 2002, Prometheus, ISBN 80-7196-253-8 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová