MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA FS-Pn-P015-Rumpal MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 6. Řešení úloh 6.1 RUMPÁL

6.1 Zadání: Na hřídeli rumpálu studny je navinuto lano, na jehož konci je zavěšen džber. Po uvolnění hřídele začne džber padat do studny a zároveň roztáčet rumpál. Určete zrychlení džberu při pohybu do studně. Jakou rychlostí dopadne džber na hladinu vody ve studni? Pro výpočet uvažujte, že známe moment setrvačnosti rumpálu J, hmotnost džberu m a hloubku studny h. Tření rumpálu v ložiscích a hmotnost lana zanedbejte.

6.1 Výklad k řešení: Rozepíšeme si pohybové rovnice pro celou soustavu odděleně pro dvě pohybující se tělesa: Okov (závaží padající do studně) Rumpál (kolo na hřídeli, které se v důsledku pádu okovu do studně, začíná roztáčet) Každé těleso koná jiný pohyb (okov translační, rumpál rotační) Oba pohyby jsou propojeny pomocí vzájemné interakce přes lano.

6.1 Výklad k řešení: OKOV (těleso zavěšené) Síly působící na těleso: Tíhová síla FG a síla lana F*. Protože okov se pohybuje se zrychlením směrem dolů, plyne z 2. Newtovova zákona, že tíhová síla je větší než síla lana. Pohybová rovnice pro okov pak bude mít následující tvar:

6.1 Výklad k řešení: RUMPÁL (těleso otáčející se) F* Síly působící na těleso: Tíhová síla FG a síla uchycení ložisek FL. Síly se vzájemně vyruší a tak nemají vliv na změnu pohybového stavu. Proto v obrázku nejsou zobrazeny. Síla lana F* (ve skutečnosti jde o reakci síly F* z předchozího, takže by měla být označena –F*(opačný směr), jelikož jsou velikosti obou sil stejné a a my budeme pracovat jen s velikostmi můžeme je označit stejně) Pohybová rovnice je dána momentem sil:

6.1 Výklad k řešení: Obě rovnice: provážeme platným vztahem mezi úhlovým zrychlením rumpálu  a zrychlením a pádu okovu do studně. K tomu si stačí uvědomit, že tečné zrychlení, se kterým opouští lano rumpál musí být stejné jako zrychlení okovu. Jinak by se buď muselo lano natahovat nebo zkracovat. Z výše uvedeného tedy plyne:

6.1 Výklad k řešení: Pohybové rovnice pak jsou: Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: a – zrychlení pádu okovu do studny F* – síla napnutí lana Dořešení je již otázkou matematiky.

6.1 Získané výsledky: Po řešení dostaneme: Získání F* je jakýmsi „vedlejším produktem“ řešení, který však občas může hodit. Zbývá dořešit rychlost dopadu okovu na hladinu vody v hloubce h.

6.1 Získané výsledky: Pokud víme zrychlení okovu: Je dořešení rychlosti dopadu otázkou kinematiky rovnoměrně zrychleného pohybu. O rovnoměrně zrychlený pohyb se jedná, protože získané zrychlení (viz vzorec) je konstantní (nezávisí na čase).

Zdroje a použitá literatura: [1] Tuhé těleso. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Tuhé_těleso. [2] Moment hybnosti. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Moment_hybnosti [3] Mechanika tuhého tělesa. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Mechanika_tuhého_tělesa