Příklady - opakování Auto se pohybovalo 3 hodiny stálou rychlostí 80 km/h, poté 2 hodiny rychlostí 100 km/h, pak 30 minut stálo a nakonec 2,5 hodiny rychlostí 120 km/h. Jaká byla průměrná rychlost? Pepa běžel do vršku rychlostí 8 km/h a z vršku rychlostí 12 km/h. Vršek je 6 km od vesnice. Jak dlouho si může na vrcholu odpočinout, chce-li se vrátit zpět domů přesně za 90 minut? Jaká bude v tom případě jeho průměrná rychlost? Peloton cyklistů se pohybuje rychlostí 36 km/h . V okamžiku, kdy bylo čelo pelotonu vzdáleno 10 km od místa startu, vyjela z místa startu spojka rychlostí 54 km/h. Spojka dostihla čelo pelotonu, okamžitě se otočila zpět a zařadila se na jeho konec přesně za 34 minut. Určete délku pelotonu l. Loďka plující po proudu předehnala kus dřeva v bodě A . Po dalších 60 minutách se otočila a potkala zmíněný kus dřeva v bodě B vzdáleném 6 km od bodu A. Určete rychlost proudu.

Kinematika HB – speciální případy Protože neumíme vyšší matematiku, musíme se pro případ pohybu po přímce omezit na dva typy pohybu: - pohyb rovnoměrný přímočarý (nulové zrychlení, stálá rychlost, s = v*t, viz nižší gymnázium) pohyb rovnoměrně zrychlený (či zpomalený) přímočarý - novinka, zrychlení (tj. časová změna rychlosti) je konstantní Vyšší matematika by nám umožnila pracovat s zcela obecnými pohyby hmotného bodu, dovoluje nám počítat časové závislosti dráhy, rychlosti, zrychlení, ale i určovat trajektorie různých pohybů!

Pohyb rovnoměrný přímočarý Platí pro něj, že a = 0, v = v0 = konst. a s = v0*t. Závislosti jednotlivých veličin na čase můžeme znázornit graficky: v (m*s-1) v0 a (m*s-2) s (m) s =v0*t tgφ = s/t = v0 φ t(s) t(s) t(s) Z obrázků je vidět, že dráhu lze určit v grafu v(t) jako obsah plochy pod křivkou, rychlost v grafu s(t) poté jako směrnici tečny. To platí obecně pro jakýkoliv přímočarý pohyb!

Základní ZŠ (SŠ) úlohy 1. První auto jede z místa A rychlostí v1. Druhé auto vyrazí za ním se zpožděním ∆t větší rychlostí v2. Kdy a kde se potkají? Možno řešit různě, klasický postup: s1 = s2  v1*t1 = v2*t2  v1*t1 = v2*(t1 - ∆t)  v2*∆t = t1* (v2-v1)  t1 = v2*∆t /(v2-v1). s = v1*t1. 2. První auto jede z místa A rychlostí v1. Druhé auto vyrazí z místa B vzdáleného s se zpožděním ∆t rychlostí v2. Kdy a kde se potkají? Klasický postup: s = s1 + s2  s = v1*t1 + v2*t2  s = v1*t1 + v2*(t1 - ∆t)  s + v2*∆t = t1* (v2 + v1)  t1 = (s + v2*∆t) /(v2 + v1). s1 = v1*t1.

Pohyb rovnoměrně zrychlený přímočarý Platí pro něj, že a = a0 = konst., v = a*t + v0 (poč. rychlost), s = ½*a*t2 + v0*t + s0 (poč. dráha, většinou nulová) Závislosti jednotlivých veličin na čase můžeme znázornit graficky: v (m*s-1) s (m) a (m*s-2) tečna v čase t* a0 tgφ = v (t*) s =1/2*a*t2 φ t(s) t(s) t* t(s) Z obrázků je opět vidět, že dráhu lze určit v grafu v(t) jako obsah plochy pod křivkou, rychlost v grafu s(t) poté jako směrnici tečny. Grafem s(t) je parabola. Podobně změnu rychlosti lze určit z grafu a(t) jako obsah plochy pod křivkou (platí obecně).

Pohyb rovnoměrně zrychlený Díky uvedené závislosti dráhy na čase můžeme při pohybu rov. zrychleném (či zpomaleném, což je totéž se záporným zrychlením) použít tzv. metodu průměrování.Pro uraženou dráhu pak platí jednoduchý vzoreček s = vp*t, kde vp je průměrná rychlost v době pohybu, pro kterou platí vp = (v0 + vk)/2, kde v0 je počáteční a vk koncová rychlost. Pro rozjezd z klidu rovnou platí vp = vk/2. Příklad 1: Letadlo se zvedlo po 675 m z rozjezdové plochy. Jaké bylo jeho konstantní zrychlení, jestliže opustilo zemi za 15 s po startu? Jakou mělo rychlost v okamžiku, kdy se vzneslo? Řešení: Rovnoměrně zr. pohyb s nulovou poč. rychlostí  s = vp*t  vp = s/t = 675/15 = 45 m/s. vp = vk/2  vk = 2* vp = 2*45 = 90 m/s. Pro zrychlení: a = ∆v/∆t = 90/15 = 6 m/s2. Příklad 2: Auto snížilo během 5 s rovnoměrně svoji rychlost z 25 m/s na 15 m/s. Jakou dráhu přitom urazilo? Řešení: Rovnoměrně zpom. pohyb s nenulovou poč. rychlostí  vp = (v0 + vk)/2 = (15 + 25) / 2 = 20 m/s. s = vp*t = 20*5 = 100 m.

Pohyb nerovnoměrný přímočarý Platí pro něj, že a není konstantní, v i s se poté musí určit pomocí integrálů Závislosti jednotlivých veličin na čase mohou vypadat třeba takto: v (m*s-1) v0 s (m) a (m*s-2) tečna v čase t* a0 tgφ = v (t*) φ t(s) t(s) t* t(s) Grafy jsou složité, opět však lze dráhu lze určit v grafu v(t) jako obsah plochy pod křivkou, rychlost v grafu s(t) poté jako směrnici tečny. Změnu rychlosti lze z grafu a(t) určit jako obsah plochy pod křivkou.

Příklad – rovnoměrně zrychlený pohyb Zadání: Těleso se pohybuje rovnoměrně zrychleně s počáteční rychlostí v0 = 3 m*s-1 a zrychlením a = 2m*s-2. Určete dráhu uraženou během prvních deseti sekund pohybu a konečnou rychlost. Řešení: Dosazením t = 10 s do vztahů pro rovnoměrně zrychlený pohyb okamžitě dostáváme: vk = v0+a*t = 3 + 2*10 = 23 m*s-1 s(10) = ½*a*t2+v0*t+s0 = ½*2*102+3*10+0 = 130 m (případně vp = (v0 + vk)/2 = (3 + 23)/2 = 13 m/s; s (10) = vp*t = 13*10 = 130 m).