Dvojosý stav napjatosti výukový materiál

Dvojosý stav napjatosti - ukázky zaznačení orientace napětí Na obr. vlevo dole jsou vyznačeny složky napětí. Kladná orientace napětí sx a sy je v případě, že vektory směřují ven ze šetřeného bodu. Kladná orientace smykového napětí txy je patrná z obr. vlevo dole. sx=90 MPa, sy=30 MPa, txy=40 MPa. V případě hodnot napětí sx=-20 MPa, sy=42 MPa, txy=-16 MPa by orientace vyznačená na vybraném elementu vypadala následovně: sy sx sy txy tyx tyx txy sx sx txy tyx sy

Dvojosý stav napjatosti – příklad 1 Tenkostěnné potrubí je namáháno vnitřním přetlakem p, dále tahovou sílou N a kroutícím momentem Mk. Na malé oblasti byly experimentálně zjištěny následující hodnoty napětí: sx=90 MPa, sy=30 MPa, txy=40 MPa. Napětí kolmé na povrch potrubí je výrazně menší než sx, resp. sy, proto se zanedbává a problém je řešen dle pravidel rovinné napjatosti. N sx sy txy tyx p Mk sx sy txy tyx

t s Dvojosý stav napjatosti Zanesení bodu A (dáno hodnotou sx=90 MPa). sy txy tyx sx=90 MPa, sy=30 MPa, txy=40 MPa Zanesení bodu B (dáno hodnotou sy=30 MPa). t Z bodu A se vynese kolmo k ose s bod X ve vzdálenosti txy (=40 MPa). Pokud je txy kladné, vynáší se X kladným směrem osy t. (sx+sy)/2=60 X Z bodu B se vynese kolmo k ose s bod Y ve vzdálenosti txy (opačným směrem vůči X) txy=40 s Průsečík přímky XY s osou s definuje střed Mohrovy kružnice S. B S A txy=40 Kolem bodu S se opíše kružnice procházející body X a Y. sy=30 Y sx= 90

Průsečíky kružnice s osou s (body 1 a 2) určují hlavní napětí, tj Průsečíky kružnice s osou s (body 1 a 2) určují hlavní napětí, tj. maximální (s1) a minimální (s2) normálové napětí ve sledovaném bodě. Dvojosý stav napjatosti sx sy txy tyx sx=90 MPa, sy=30 MPa, txy=40 MPa Z kružnice lze přímo sestavit vztah pro hlavní napětí ze znalosti sx, sy a txy. t (sx+sy)/2=60 s1= 110 X s2= 10 2a1 txy=40 s s2 s1 B S A 2 1 V Mohrově kružnici se používá termín dvojnásobný úhel. Oproti reálnému elementu otáčeném o úhel a v Mohrově kružnici přímka XY rotuje o úhel 2a. Proto bod X reprezentující napětí sx je od bodu Y (sx) otočen o 1800 namísto reálných 900. (sy-sy)/2= =30 txy=40 sy=30 Y sx= 90

Pomocí Mohrovy kružnice lze znázornit pootočení elementu tak, aby na jeho plochách působily pouze hlavní napětí (tzn. t = 0). Dvojosý stav napjatosti sx sy txy tyx sx=90 MPa, sy=30 MPa, txy=40 MPa t Skutečný směr prvního hlavního napětí získáme sestrojením úsečky procházející body 2 a X. (sx+sy)/2 směr s1 Úhel mezi napětím s1 a sx je a1. X Směr druhého hlavního napětí je dán přímkou procházející body 2 a Y. txy Úhel mezi napětím s2 a sx je a2. 2a1 s a1 Pootočení elementu při působení hlavních napětí. S A 2 B 1 a2 2a2 sx sy txy tyx s2 txy s1 (sy-sy)/2 a1 sy Y a2 sx směr s2

Pomocí Mohrovy kružnice lze také určit napětí pro libovolný úhel a (nezaměňovat s a1 a a2). Dvojosý stav napjatosti sx=90 MPa, sy=30 MPa, txy=40 MPa s(a) t (sx+sy)/2 rotací trojúhelníku SAX kolem bodu S. Kupříkladu pro s(a) se prvně spočítá vzdálenost bodu S od počátku souřadného systému ½(sx+sy) a přičte se kosinusová část ½(sy-sy) a sinusová část txy txy txy 2a1 (sy-sy)/2 X A S txy(a) 2a S ½ (sy-sy) cos2a txy sin2a

Dvojosý stav napjatosti – příklad 2 Je dána rovinná napjatost v bodě A: sx=-80 MPa, sy=120 MPa, txy=-60 MPa stanovte velikost a směr hlavních napětí v bodě A stanovte rovinnou napjatost při maximálním smykovém napětí stanovte rovinnou napjatost pro element pootočen o 300 proti směru hod. ručiček t Zanesení bodu A (dáno hodnotou sx=-80 MPa). (sx+sy)/2=20 Zanesení bodu B (dáno hodnotou sy=120 MPa). Y Z bodu A se vynese kolmo k ose s bod X ve vzdálenosti txy (=-60 MPa). Jelikož je txy záporné, vynáší se X záporným směrem osy t. txy sx= -80 s S A B Z bodu B se vynese kolmo k ose s bod Y ve vzdálenosti txy (opačným směrem vůči X) sy=120 txy=-60 X Průsečik přímky XY s osou s definuje střed Mohrovy kružnice S. Kolem bodu S se opíše kružnice procházející body X a Y.

Dvojosý stav napjatosti – příklad 2 Je dána rovinná napjatost v bodě A: sx=-80 MPa, sy=120 MPa, txy=-60 MPa stanovte velikost a směr hlavních napětí v bodě A Hlavní napětí jsou dány vztahem t s1=136.6 MPa, s2 =-96.62 MPa Úhly a1 a a2 spočteme z směr s2 Y txy a1=-74.5o, a2 =15.5o s S 2 a2 Směr prvního hlavního napětí získáme sestrojením úsečky procházející body 2 a X. A a1 2a2 B 2a1 1 txy=-60 X Úhel mezi napětím s1 a sx je a1. Směr druhého hlavního napětí je dán přímkou procházející body 2 a Y. směr s1

Dvojosý stav napjatosti – příklad 2 Je dána rovinná napjatost v bodě A: sx=-80 MPa, sy=120 MPa, txy=-60 MPa b) stanovte rovinnou napjatost při maximálním smykovém napětí Velikost maximálního smykového napětí je rovna poloměru Mohrovy kružnice. t (sx+sy)/2=20 Y Úhly, rotující do polohy maximálních napětí lze opět odvodit z Mohrovy kružnice. txy sx= -80 2a2t,max s S A 2a2 B 2a1 sy=120 txy=-60 2a1t,max X tmax

Dvojosý stav napjatosti – příklad 2 Je dána rovinná napjatost v bodě A: sx=-80 MPa, sy=120 MPa, txy=-60 MPa c) stanovte rovinnou napjatost pro element pootočen o 300 proti směru hod. ručiček Napětí pro rotaci 30o získáme dosazením do dříve odvozených vzorců. t s(30o)=-81.96 s(-60o)=121.96 Pro rovinu otočenou o zadaný úhel dosadíme pro normálové napětí nejprve úhel 30o a následně -60o (získáme tak normálová napětí na vzájemně kolmých rovinách). V Mohrově kružnici jsou opět použity dvojnásobky úhlů. t(a)=56.6 Y 2aa=60o s S A B X 2ab=-120o