UŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU I. Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55
Tečna a normála grafu funkce V: Mají-li přímky 𝑝, 𝑞 po řadě směrnice 𝑘 1 , 𝑘 2 , pak platí: 𝑝𝑞 𝑘 1 . 𝑘 2 =−1 Př. V kterém bodě má graf funkce 𝑓:𝑦= 1− 𝑥 2 tečnu se směrnicí 1? Napište rovnice tečny a normály v tomto bodě. Pro 𝑥 0 platí: 𝑓´ 𝑥 0 =1. Takže do první derivace dané funkce 𝑓´ 𝑥 =− 𝑥 1− 𝑥 2 dosadíme a dostáváme rovnici:− 𝑥 0 1− 𝑥 2 =1. Aby zlomek na levé straně byl kladný, musí být 𝑥 0 <0. Po úpravě dostáváme: 𝑥 0 =− 1 2 2 , a pak dopočítáme 𝑦 0 = 1 2 2 .
Tečna grafu dané funkce má směrnici rovnou 1 v bodě 𝑇 − 1 2 2 ; 1 2 2 . Z výše uvedené věty vyplývá směrnice normály 𝑘 𝑛 =−1. Rovnice tečny: 𝑡:𝑦− 1 2 2 =𝑥+ 1 2 2 , tj. 𝑦=𝑥+ 2 Rovnice normály: 𝑛:𝑦− 1 2 2 =−𝑥− 1 2 2 , tj. 𝑦=−𝑥
Obvody a obsahy rovinných obrazců Př. Najděte rovnoramenný trojúhelník, který má při daném obvodu 𝑜=10 maximální obsah. Označme: ramena…x, základna…z Pro obvod trojúhelníku platí: 𝑜=𝑧+2𝑥 Obsah trojúhelníku: 𝑆= 1 2 𝑧𝑣, kde 𝑣= 𝑥 2 − 𝑧 2 2 , takže po dosazení dostáváme 𝑆= 1 2 𝑧 𝑥 2 − 𝑧 2 2 . V tuto chvíli je 𝑆 funkce dvou proměnných, musíme tedy jednu z proměnných 𝑥, 𝑧 vyjádřit ze vztahu pro obvod a dosadit:
Například vyjádříme 𝑥= 10−𝑧 2 a po dosazení obdržíme 𝑆= 1 2 𝑧 10−𝑧 2 2 − 𝑧 2 2 . Po úpravě je 𝑆= 1 4 𝑧 100−20𝑧 . Naším úkolem je najít maximum funkce 𝑆=𝑆 𝑧 . 𝑆´ 𝑧 = 1 4 100−20𝑧 −𝑧 10 100−20𝑧 = 1 4 100−30𝑧 100−20𝑧 , 𝑧∈ 0;5 . Dále 𝑆´ 𝑧 =0 100−30𝑧=0 𝑧= 10 3 …stac. bod. Určíme znaménko první derivace, zjistíme, že v bodě 𝑧= 10 3 nastává lokální maximum, které je zároveň globálním maximem. Dosadíme do vztahu pro obvod a získáváme 𝑥= 10 3 , tedy hledaný trojúhelník je rovnostranný.
Zdroje: Hrubý D., Kubát J.: Matematika pro gymnázia (Diferenciální a integrální počet), Prometheus, Praha 2005