KOMBINACE BEZ OPAKOVÁNÍ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Doposud jsme se zabývali pouze uspořádanými k-ticemi, které jsou sestaveny z n prvků množiny M tak, že v každé z nich se žádný prvek neopakuje, a které existují právě tehdy, je-li k ≤ n . Připomeňme si daný ukázkový příklad. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Každá zakreslená dvojice je uspořádanou dvojicí prvků množiny M, ve které se žádný prvek neopakuje, neboli variací bez opakování druhé třídy ze tří prvků. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Nyní si zadání úlohy upravíme tak, že nebude záležet na uspořádání prvků ve dvojicích, ale pouze na tom, které prvky tyto dvojice obsahují. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Každé dvě uspořádané dvojice, které se nachází v témže sloupci, tedy splynou v jedinou neuspořádanou dvojici. 

{ , { , { , { { { Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. { , { , { , { { { Tyto neuspořádané dvojice jsou vlastně dvouprvkovými podmnožinami množiny M, ve kterých se žádný prvek množiny M neopakuje. 

{ , { , { , { { { Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. { , { , { , { { { Každá tato dvojprvková podmnožina množiny M představuje kombinaci bez opakování druhé třídy ze tří prvků. 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny: a) variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M, b) kombinace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Zakreslujte samostatně. Sledujte pořadí prvků v zakreslených trojicích. 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny: a) variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M, b) kombinace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Variace bez opakování tvořené ze stejných prvků množiny M se liší pořadím prvků. To znamená, že záleží na pořadí prvků v uspořádaných trojicích. 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny: a) variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M, b) kombinace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Při zakreslování kombinací bez opakování není důležité, v jakém pořadí byly čtverce zakresleny, ale pouze to, že byly zakresleny - nezáleží na pořadí prvků ve trojicích. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete kombinace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete kombinace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete kombinace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. Zakreslujte samostatně. Sledujte existenci kombinací bez opakování - vztah mezi třídou a počtem prvků množiny M. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete kombinace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete kombinace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete kombinace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. Jestliže je třída menší než počet prvků množiny M, pak příslušné kombinace bez opakování existují. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete kombinace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete kombinace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete kombinace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. Jestliže je třída rovna počtu prvků množiny M, pak existuje právě jediná kombinace bez opakování. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete kombinace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete kombinace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete kombinace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. například: Z daných trojúhelníků nelze sestavit žádnou čtyřprvkovou podmnožinu množiny M tak, aby se v ní žádný prvek množiny M neopakoval. Jestliže je třída větší než počet prvků množiny M, pak příslušné kombinace bez opakování neexistují. 

že kombinace bez opakování k-té třídy z n prvků jsou Nyní již víme, že kombinace bez opakování k-té třídy z n prvků jsou všechny možné podmnožiny množiny M sestavené z k prvků množiny M tak, že v každé z nich se žádný prvek neopakuje, a že existují, pokud je třída menší nebo rovna počtu prvků množiny M. Zapišme si definici. 

DEFINICE Nechť k, n jsou celá nezáporná čísla, n  0, k  0, k  n a nechť je dána konečná množina M, která má n prvků. Každou podmnožinu této množiny, která má k prvků, budeme nazývat kombinace bez opakování k-té třídy z n-prvků. 

Nyní si odvodíme vzorec pro počet všech kombinací bez opakování k-té třídy z daných n prvků množiny M, který označíme Ck(n). 

Vypište všechny kombinace bez opakování a variace bez opakování druhé třídy z prvků množiny M = {3, 5, 7, 9}. Kolik jich bude? Vypisujte samostatně. 

Vypište všechny kombinace bez opakování a variace bez opakování druhé třídy z prvků množiny M = {3, 5, 7, 9}. Kolik jich bude? kombinace bez opakování: variace bez opakování: {3, 5} [3, 5] [5, 3] {3, 7} [3, 7] [7, 3] {3, 9} [3, 9] [9, 3] {5, 7} [5, 7] [7, 5] {5, 9} [5, 9] [9, 5] {7, 9} [7, 9] [9, 7] Každé kombinaci bez opakování v jednotlivých řádcích odpovídají P(2) = 2! = 2 variace bez opakování ze stejných dvou prvků. 

Vypište všechny kombinace bez opakování a variace bez opakování druhé třídy z prvků množiny M = {3, 5, 7, 9}. Kolik jich bude? kombinace bez opakování: variace bez opakování: {3, 5} [3, 5] [5, 3] {3, 7} [3, 7] [7, 3] {3, 9} [3, 9] [9, 3] {5, 7} [5, 7] [7, 5] {5, 9} [5, 9] [9, 5] {7, 9} [7, 9] [9, 7] Pro počet C2(4) kombinací bez opakování druhé třídy ze čtyř prvků a počet V2(4) variací bez opakování druhé třídy z týchž prvků tedy platí: 

Vypište všechny kombinace bez opakování a variace bez opakování druhé třídy z prvků množiny M = {3, 5, 7, 9}. Kolik jich bude? Vypište všechny kombinace bez opakování a variace bez opakování druhé třídy z prvků množiny M = {3, 5, 7, 9}. Kolik jich bude? kombinace bez opakování: variace bez opakování: {3, 5} [3, 5] [5, 3] {3, 7} [3, 7] [7, 3] {3, 9} [3, 9] [9, 3] {5, 7} [5, 7] [7, 5] {5, 9} [5, 9] [9, 5] {7, 9} [7, 9] [9, 7] 

Stejným způsobem budeme postupovat i v obecném případě: Všechny variace bez opakování k-té třídy z n prvků množiny M, které obsahují tytéž prvky množiny M a liší se pouze pořadím prvků, vytvoří jednu skupinu. Každá skupina obsahuje právě k! variací bez opakování k-té třídy, kterým lze přiřadit jedinou kombinaci k-té třídy z těchto prvků. Platí tedy: 

Pro počet Ck(n) všech kombinací bez opakování k-té třídy VĚTA Pro počet Ck(n) všech kombinací bez opakování k-té třídy z n prvků platí: 

Je-li n libovolné přirozené číslo a k = 0, pak platí: Je-li n = 0 a k = 0, pak platí: Prázdnou množinu (k = 0) lze z libovolné n-prvkové množiny M vybrat vždy jen jediným způsobem. 

Na volejbalový turnaj se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. Budeme počítat počet kombinací bez opakování? Pokud ano, které třídy a z kolika prvků? Zdůvodněte. 

Na volejbalový turnaj se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. Určujeme počet kombinací bez opakování druhé třídy z 6 prvků, jelikož ve dvojicích, které z daných šesti družstev vybíráme, nezáleží na pořadí – zápas družstva A s družstvem B je totéž utkání jako zápas družstva B s družstvem A. Dále v těchto dvojicích se každé družstvo vyskytuje právě jednou – žádné družstvo nemůže hrát samo se sebou. 

Na volejbalový turnaj se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. k = 2 n = 6 Dosaďte do vzorce. 

Rozložte vyšší faktoriál na nižší. Na volejbalový turnaj se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. k = 2 n = 6 Rozložte vyšší faktoriál na nižší. 

Upravte zlomek a příklad dopočtěte. Na volejbalový turnaj se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. k = 2 n = 6 Upravte zlomek a příklad dopočtěte. 

Na volejbalovém turnaji se odehraje celkem 15 utkání. Na volejbalový turnaj se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. k = 2 n = 6 Na volejbalovém turnaji se odehraje celkem 15 utkání. 

Při výpočtu použijeme kalkulátor. Určete, kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu čtyřčlenný výbor. Při výpočtu použijeme kalkulátor. 

Určete, kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu čtyřčlenný výbor. Určujeme počet kombinací bez opakování čtvrté třídy z 30 prvků, jelikož ve čtveřicích, které z daných studentů vybíráme, nezáleží na pořadí, v němž byli studenti zvoleni, a dále se v těchto čtveřicích každý student vyskytuje právě jednou. 

Určete, kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu čtyřčlenný výbor. k = 4 n = 30 Dosaďte do vzorce. 

Příklad dopočtěte pomocí kalkulátoru. Určete, kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu čtyřčlenný výbor. k = 4 n = 30 Příklad dopočtěte pomocí kalkulátoru. 

Čtyřčlenný výbor mohou studenti zvolit 27 405 způsoby. Určete, kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu čtyřčlenný výbor. k = 4 n = 30 Čtyřčlenný výbor mohou studenti zvolit 27 405 způsoby.