Průřezové charakteristiky, statický střed soustavy sil, těžiště. Geometrické útvary (čáry, obrazce) nahradíme fiktivními rovnoběžnými silami působícími v těžištích jednotlivých částí – u čáry je to délka úseček d, u obrazce plocha A. Těžiště je statickým středem soustavy těchto rovnoběžných sil. xT x 1 z1 Sx = A1 . z1 + A2 .z2 - A3 .z3 zT F1 = A1 Sx = Acel . zT z2 = z3 T F1= A1 Acel= A1+A2 - A3 Acel F3 = A3 3 2 F2 = A2 z analogicky xT otvor

Příklad 4: Složený průřez s otvorem - hlavní průřezové charakteristiky Určete polohu těžiště k osám x a z, hlavní centrální momenty setrvačnosti, polární moment setrvačnosti, deviační moment, pootočené osy. Rozměry jsou v cm. xT 10 x 1 z1 zT 30 z2 = z3 T 2 10 3 Otvor D = 8cm 8 8 30 z |a 1 |< |a 2|

Příklad 1: Těžiště lomené čáry Stanovte polohu těžiště lomené čáry, která je dána spojnicí bodů: A(-5;-6), B(0;0), C(0;3), D(6;6). 1 x Postup: 2 délky jednotlivých úseček (di) celková délka ( d = ∑ di ) souřadnice dílčích těžišť statický moment k ose x: Sx = ∑di.zT,i statický moment k ose z: Sz = ∑di.xT,i souřadnice těžiště lomené čáry: Sx = d . zT → zT = Sx / d Sz = d . xT → xT = Sz / d z 3 Výsledky: d1 = 7,81m, d2 = 3m, d3 = 6,71m d = ∑ di = 17,52m T1[-2,5;-3], T2[0;1.5], T3[3;4,5] Sx = ∑di.zT,i = 11,27m2 Sz = ∑di.xT,i = 0,605m2 souřadnice těžiště lomené čáry: zT = Sx / d = 0,64 m xT = Sz / d = 0,03 m T [0,03; 0,64]

Příklad 2: Výpočet průřezových charakteristik svařovaného T průřezu 1. Poloha těžiště (1) (2) A1 = b1 · h1 = 12 · 240 = 2 880 mm2 A2 = b2 · h2 = 200 · 20 = 4 000 mm2 x z T1 z1 zT T T2 z2 h2 = 20 mm c1 = z1 – zT = 140 – 64,42 = 75,58 mm c2 = z2 – zT = 10 – 64,42 = –54,42 mm c2 c1 A = A1 + A2 = 6 880 mm2 xt Sx1 = z1 · A1 = 140 · 2 880 = 403 200 mm3 Sx2 = z2 · A2 = 10 · 4 000 = 40 000 mm3 h1 = 240 mm Sx = Sx1 + Sx2 = 443 200 mm3 Sx = A · zT => zT = Sy’ / A = 64,42 mm b1 = 12 mm b2 = 200 mm

Steinerova věta: Ix = Ixt + A · c2 Iz = Izt + A · d2 Příklad 2: Výpočet průřezových charakteristik T průřezu 2. Centrální momenty setrvačnosti Iz1 = 1/12 · h1 · b13 = 1/12 · 240 · 123 = 34 560 mm4 z x2 (1) (2) h2 Iz2 = 1/12 · h2 · b23 = 1/12 · 20 · 2003 = 13,333 · 106 mm4 T2 Iz = Iz1 + Iz2 = 13,368 · 106 mm4 c2 xt T c1 Ix1 = 1/12 · b1 · h13 = 1/12 · 12 · 2403 = 13,824 · 106 mm4 x2 h1 = 240 mm T1 Ix1t = Ix1 + A1 · c12 = 13,824 · 106 + 2880 · 75,582 = = 30,276 · 106 mm4 Ix2 = 1/12 · b2 · h23 = 1/12 · 200 · 203 = 133 333 mm4 Ix2t = Iy2’ + A2 · z22 = 133 333 + 4000 · (–54,42)2 = = 11,979 · 106 mm4 b1 = 12 mm b2 = 200 mm Ixt = Ix1t + Ix2t = 42,255 · 106 mm4 Steinerova věta: Ix = Ixt + A · c2 Iz = Izt + A · d2

Příklad 3: Složený válcovaný průřez - hlavní průřezové charakteristiky: poloha těžiště obrazce k ose , centrální momenty setrvačnosti, polární moment setrvačnosti, deviační moment, poloměry setrvačnosti 150/10 – (profil 1) z tabulek profilů: AU = 2800mm2 Ix,U = 13,5 . 106mm4 U180 – (profil 2) Iz,U = 1,13 . 106mm4 Apásku = 1500mm2 xt ≡ x1 ≡ x2 T1 T2 z2 z1 z

1) Určení polohy těžiště vzhledem k ose z 150/10 - 1 150/10 150/10 29,3 5 U180 - 2 xt ≡ x1 ≡ x2 T T1 T2 Statický moment k ose z: z xT zt

2) Vzdálenosti dílčích těžišť od celkového těžiště 29,3 1 5 d1 = 5- xT = -15,82 mm 2 d2 = 29,3 - xT = 8,48mm xt T d1 d2 z xT=20,82 zt

3) Centrální momenty setrvačnosti k těžištním osám 29,3 d1 = -15,82 mm 1 5 d2 = 8,48mm 2 Izt = Iz1 + Iz2 + A1d12 + A2d22 = 1,7193.106mm4 xt d1 d2 Ixt = Ix1 + Ix2 = 16,3125.106mm4 z xT=20,82 zt Steinerova věta: Ix = Ixt + A · c2 Iz = Izt + A · d2

4) Deviační moment a polární moment setrvačnosti 29,3 1 5 Ixt = Ix1 + Ix2 = 16,3125.106mm4 Izt = Iz1 + Iz2 + A1d12 + A1d22 = 1,7193.106mm4 2 Dxzt =0 xt Ip = Ix + Iz =18,0353.106mm4 z xT=20,82 zt

4) Průřezový modul ke krajním vláknům Wx,hor== Wx,hor = Ix/e = Ix / 90 ehor Wx=181,25.103mm3 xT edol Analogicky k ose z – pozor nesymetrie Wz,L=82,57.103mm3 zT xT=20,82 Wz,P=29,1.103mm3