5 Kmity NMFY 160 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5 Řešení pohybové rovnice. Kmity 5.1 Pohybová rovnice HB v klasické mechanice: 2 NZ (zákon síly) 𝑚 𝑎 = 𝐹 , v 1D 𝑚 𝑥 𝑡 =𝐹 𝑥,𝑡 d 2 𝑥(𝑡) d 𝑡 2 = 𝐹(𝑥,𝑡) 𝑚 Budeme řešit pro konkrétní tvary síly F. FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.1 Volný HB 5.2.1 Volný HB: 𝐹=0 𝑚 𝑥 =0 𝑥 =0 𝑥 = 𝑣 0 𝑥= 𝑣 0 𝑡+ 𝑥 0 Rovnoměrný přímočarý pohyb (dle 1.NZ) s počáteční polohou 𝑥 0 a rychlostí 𝑣 0 (vždy dbejte na fyzikální interpretaci) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.2 Stálá síla 𝐹 5.2.2 Konstantní síla: 𝐹= 𝐹 0 𝑚 𝑥 = 𝐹 0 𝑥 = 𝐹 0 𝑚 𝐹 0 𝑚 :intenzita tíhové síly, zrychlení 𝑥 = 𝐹 0 𝑚 𝑡+ 𝑣 0 𝑥= 1 2 𝐹 0 𝑚 𝑡 2 +𝑣 0 𝑡+ 𝑥 0 Rovnoměrný zrychlený pohyb. Pád, vrh pro 𝐹 0 =−𝑚𝑔 𝑧=ℎ− 1 2 𝑔 𝑡 2 +𝑣 0 𝑡 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.3 Oscilátor (netlumený) 5.2.3 Harmonický oscilátor netlumený: 𝐹=−𝑘𝑥 Síla pružnosti; pružnost 𝑘>0. 𝑚 𝑥 =−𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘 𝑚 𝑥=0 Zavedeme 𝜔 0 ≔ 𝑘 𝑚 >0 Hledáme 𝑥 𝑡 = e 𝜆𝑡 ; 𝑥 =𝜆 e 𝜆𝑡 , 𝑥 = 𝜆 2 e 𝜆𝑡 𝜆 2 + 𝜔 0 2 =0 𝜆=±𝑖 𝜔 0 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.3 Oscilátor (netlumený), (pokr.) Řešení: 𝑥= 𝑥 m sin 𝜔 0 𝑡+ 𝜑 1 ( 𝑥 m ; 𝜑 1 ) = 𝑥 m cos 𝜔 0 𝑡+ 𝜑 2 ( 𝑥 m ; 𝜑 2 ) = 𝑥 m sin 𝜔 0 (𝑡− 𝑡 1 ) ( 𝑥 m ; 𝑡 1 ) = 𝑥 m cos 𝜔 0 (𝑡− 𝑡 2 ) ( 𝑥 m ; 𝑡 2 ) =𝐴 cos 𝜔 0 𝑡 +𝐵 sin 𝜔 0 𝑡 (𝐴; 𝐵) =ℜ 𝐶 ± e 𝑖 𝜔 0 𝑡 (komplexní 𝐶 ± ) apod. „Harmonický oscilátor“; síla zpět úměrná odchylce („heimweh“) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.3 Oscilátor (netlumený), (pokr.) Termíny: např. pro 𝑥(𝑡)= 𝑥 m cos 𝜔 0 𝑡+ 𝜑 2 𝑥 m amplituda 𝜔 0 𝑡+ 𝜑 2 fáze 𝜑 2 počáteční fáze 𝜔 0 úhlová frekvence; kruhová frekvence 𝑓:= 𝜔 0 /2π frekvence; kmitočet 𝑇≔1/𝑓 perioda; doba kmitu Síla 𝐹=−𝑘𝑥 má potenciál 𝑈(𝑥), zde je to i potenciální energie 𝑈 𝑥 = 1 2 𝑚 𝜔 0 2 𝑥 2 + 𝑈 0 , zachovává tedy energii FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.4 Oscilátor s předpětím 5.2.4 Harmonický oscilátor s předpětím: 𝐹=−𝑘𝑥+ 𝐹 0 Řešíme stejně, jen rovnice je nehomogenní 𝑚 𝑥 =−𝑘𝑥+ 𝐹 0 𝑥 + 𝑘 𝑚 𝑥= 𝐹 0 𝑚 K dosavadnímu řešení stačí přičíst 𝑥 1 = 𝐹 0 𝑘 , tedy jen posunutá rovnovážná poloha o 𝑥 1 .  FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.5 Tlumený oscilátor: zavedení Chceme zahrnout tření: suché tření: dáno normálovým tlakem, ne moc 𝑣 odpor tekutiny (pomalé): 𝐹~𝑣 odpor tekutiny (rychlé): 𝐹~ 𝑣 2 Mazání styčných ploch  odpor tekutiny; linearita. Výsledná síla: 𝐹=−𝑘𝑥−ℎ 𝑥 Rovnice: 𝑚 𝑥 +𝑘𝑥+ℎ 𝑥 =0 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(5.2.5) Tlumený oscilátor; typy řešení 𝑚 𝑥 +𝑘𝑥+ℎ 𝑥 =0 Opět zavedeme 𝜔 0 ≔ 𝑘 𝑚 >0 a dále 𝛿≔ ℎ 2𝑚 >0 𝑥 +2𝛿 𝑥 + 𝜔 0 2 𝑥=0 Opět hledáme 𝑥 𝑡 = e 𝜆𝑡 ; 𝑥 =𝜆 e 𝜆𝑡 , 𝑥 = 𝜆 2 e 𝜆𝑡 𝜆 2 +2𝛿𝜆+ 𝜔 0 2 =0 𝐷=4 𝛿 2 − 𝜔 0 2 Podle znaménka 𝐷 jsou tři případy: 1) 𝐷<0 tlumené harmonické kmity: 𝛿< 𝜔 0 2) 𝐷>0 aperiodický pohyb: 𝛿> 𝜔 0 3) 𝐷=0 mezní aperiodický pohyb: 𝛿= 𝜔 0 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(5.2.5) Tlumené harmonické kmity Zavedeme 𝜔≔ 𝜔 0 2 − 𝛿 2 Dostaneme ihned obecné řešení, např. 𝑥 𝑡 = 𝐶 + e −𝛿+𝑖𝜔 𝑡 + 𝐶 − e −𝛿−𝑖𝜔 𝑡 =(𝐴 cos 𝜔𝑡+ 𝐵 sin 𝜔𝑡) e −𝛿𝑡 =𝐶 e −𝛿𝑡 cos (𝜔𝑡+ 𝜑 0 ), Typ pohybu: kmitání s klesající amplitudou 1:𝛽=1: e −𝛿𝑇 Nulové body i lok. extrémy: ½ 𝑇. FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.5 Aperiodický pohyb 2) aperiodický pohyb: 𝛿> 𝜔 0 Zavedeme ∆≔ 𝛿 2 −𝜔 0 2 Dostaneme opět ihned obecné řešení, např. 𝑥 𝑡 = 𝑥 1 e − 𝛿−∆ 𝑡 + 𝑥 2 e − 𝛿+∆ 𝑡 Typ pohybu: exponenciálně zaniká FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.5 Aperiodický pohyb FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.5 Mezní aperiodický pohyb Charakteristická rovnice má dvojnásobný kořen λ=0 Řešení má tvar 𝑥 𝑡 = 𝐶 1 e −𝛿𝑡 + 𝐶 2 𝑡 e −𝛿𝑡 Typ pohybu: podobný jako tlumený V praxi: nejrychlejší přiblížení rovnovážné poloze FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.6 Vynucené kmity 𝐹 vt 𝑡 Vnější síla 𝐹 vt 𝑡 = 𝐹 0 cos 𝛺𝑡 častý případ Fourierova trafo umožní zobecnit 𝑚 𝑥 +𝑘𝑥+ℎ 𝑥 = 𝐹 0 cos 𝛺𝑡 𝑥 +2𝛿 𝑥 + 𝜔 0 2 𝑥= 𝑎 0 cos 𝛺𝑡 (1) Řešení: homogenní rovnice + „partikulární integrál“ Homogenní rovnici jsme řešili (tlumený oscilátor) Partikulární integrál: ustálený stav 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑚 cos 𝛺𝑡+ 𝜑 0 (2) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.6 Vynucené kmity: řešení (1) 𝑥 +2𝛿 𝑥 + 𝜔 0 2 𝑥= 𝑎 0 cos 𝛺𝑡 ; hledáme řešení ve tvaru (2) 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑚 cos 𝛺𝑡+ 𝜑 0 . Zavedeme zkratky cos 𝛺𝑡≔𝐶; sin 𝛺𝑡 ≔𝑆; cos 𝜑 0 =𝑐; sin 𝜑 0 =𝑠 𝑥=𝑥 𝑚 cos 𝛺𝑡+ 𝜑 0 = 𝑥 𝑚 𝑐𝐶− 𝑥 𝑚 𝑠𝑆 𝑥 =−𝛺𝑥 𝑚 sin 𝛺𝑡+ 𝜑 0 = −𝛺𝑥 𝑚 𝑐𝑆− 𝛺𝑥 𝑚 𝑠𝐶 𝑥 =− 𝛺 2 𝑥 𝑚 cos 𝛺𝑡+ 𝜑 0 = − 𝛺 2 𝑥 𝑚 𝑐𝐶+ 𝛺 2 𝑥 𝑚 𝑠𝑆 dosadíme do (1) a obě strany vydělíme 𝑥 𝑚 − 𝛺 2 𝑐𝐶+ 𝛺 2 𝑠𝑆−2𝛿𝛺𝑐𝑆−2𝛿𝛺𝑠𝐶+ 𝜔 0 2 𝑐𝐶− 𝜔 0 2 𝑠𝑆= 𝑎 0 𝑥 𝑚 𝐶 Protože 𝐶, 𝑆 jsou lineárně nezávislé, musí být podle 𝐶: − (𝛺 2 − 𝜔 0 2 )𝑐−2𝛿𝛺𝑠= 𝑎 0 𝑥 𝑚 podle 𝑆: − (𝛺 2 − 𝜔 0 2 )𝑠−2𝛿𝛺𝑐=0 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.6 Vynucené kmity: řešení (dokončení) podle 𝐶: − (𝛺 2 − 𝜔 0 2 )𝑐−2𝛿𝛺𝑠= 𝑎 0 𝑥 𝑚 podle 𝑆: − (𝛺 2 − 𝜔 0 2 )𝑠−2𝛿𝛺𝑐=0 (𝛺 2 − 𝜔 0 2 ) 2 +4 𝛿 2 𝛺 2 = 𝑎 0 𝑥 𝑚 2 𝑥 𝑚 = 𝐹 0 /𝑚 (𝛺 2 − 𝜔 0 2 ) 2 +4 𝛿 2 𝛺 2 (amplituda) tan 𝜑 0 = 𝑠 𝑐 = 2𝛿𝛺 𝛺 2 − 𝜔 0 2 (fáze) Rozbor: jmenovatel nulový: u 𝜑 0 to nevadí (𝜑 0 = 𝜋 2 ); u 𝑥 𝑚 : rezonance FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.6 Vynucené kmity: Rezonance 𝑥 𝑚 = 𝐹 0 /𝑚 (𝛺 2 − 𝜔 0 2 ) 2 +4 𝛿 2 𝛺 2 (amplituda) tan 𝜑 0 = 𝑠 𝑐 = 2𝛿𝛺 𝛺 2 − 𝜔 0 2 (fáze) Maximum: standardně, 𝜕 𝑥 𝑚 (𝛺,𝛿 ) 𝜕𝛺 =0 pro 𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑚𝑚 𝑥 𝑚𝑚 (𝛺)= 𝐹 0 /𝑚 𝛺 4 − 𝜔 0 2 𝛺 4 𝛺 4 (𝛿<) Závislost 𝑥 𝑚 (𝛺;𝛿) pro dané 𝛿 Závislost 𝑥 𝑚𝑚 (𝛺) fialově čárk. FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.6 Vynucené kmity: Energie Netlumené kmity: 𝐸 Σ = 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 = 1 2 𝑚 𝜔 0 2 𝑥 𝑚 2 Tlumené kmity: 𝑃= 𝑑𝐸 𝑑𝑇 = 𝑑 𝑑𝑇 1 2 𝑚 𝑥 2 + 1 2 𝑘 𝑥 2 = =−ℎ 𝑥 2 Vtištěná energie za 1 periodu: 𝐸 𝑧 = 0 𝑇 (−ℎ 𝑥 2 )𝑑𝑡= −𝛺𝑚 𝑥 𝑚 2 prům. ztrát. výkon: 𝑃= 𝐸 𝑇 =𝛿 𝛺 2 𝑚 𝑥 𝑚 2 = 𝛿 𝛺 2 𝐹 0 2 /𝑚 (𝛺 2 − 𝜔 0 2 ) 2 +4 𝛿 2 𝛺 2 podobné jako dříve, ale max. pro 2 𝛺 𝜔 0 2 (𝛺 2 − 𝜔 0 2 ) 2 =0, tedy 𝛺= 𝜔 0 nezávisle na tlumení. Činitel jakosti: 𝑄= 𝐸 Σ 𝐸 𝑧 = 2𝜋 1 2 𝑚 𝜔 0 2 𝑥 𝑚 2 2𝜋𝛿𝛺𝑚 𝑥 𝑚 2 = 𝜔 0 2 2𝛿𝛺 v rezonanci: 𝑄= 𝜔 0 2𝛿 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.7 Superpozice kmitů; stejný směr Netlumené kmity: 𝑥 1 = 𝑥 1𝑚 cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜑 1 𝑥 2 = 𝑥 2𝑚 cos 𝜔 2 𝑡+ 𝜑 2 Dva spec. případy: a: 𝜔 1 = 𝜔 2 , b: 𝜔 1 ≈ 𝜔 2 , resp. |𝜔 1 − 𝜔 2 |≪ 𝜔 1 + 𝜔 2 a: táž frekvence, nová amplituda a fáze b: Rázy (zázněje): frekv. |𝜔 1 − 𝜔 2 |, nikoli 1 2 |𝜔 1 − 𝜔 2 | ! FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(5.2.7) Superpozice kmitů; kolmé směry Lissajousovy obrazce Netlumené kmity: 𝑥= 𝑥 𝑚 cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜑 1 𝑦= 𝑦 𝑚 cos 𝜔 2 𝑡+ 𝜑 2 𝜔 1 : 𝜔 2 =𝑚:𝑛 racionální  uzavřená křivka; vlevo 𝑚, dole 𝑛 bodů 𝜔 1 : 𝜔 2 = iracionální  křivka hustá v obdélníku (viz Wiki) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.2.8 Vázané kmity. Kvazičástice Dva stejné netlumené oscilátory s frekvencemi 𝜔 𝐴 Zavedeme mezi nimi vazbu: 𝐹 𝑃 = −𝑘 𝑃 ( 𝑥 2 −𝑥 1 ) 𝑚 𝑥 1 =−𝑘 𝑥 1 + 𝑘 𝑃 𝑥 2 −𝑥 1 =−(𝑘+ 𝑘 𝑃 ) 𝑥 1 + 𝑘 𝑃 𝑥 2 𝑚 𝑥 2 =−𝑘 𝑥 2 + 𝑘 𝑃 𝑥 1 −𝑥 2 = 𝑘 𝑃 𝑥 1 −(𝑘+ 𝑘 𝑃 ) 𝑥 2 rovnice sečteme a odečteme: 𝑚 𝑥 1 +𝑚 𝑥 2 =−𝑘( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 𝑚 𝑥 2 −𝑚 𝑥 1 =−(𝑘+2 𝑘 𝑃 ) ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) dosazením 𝑥 1 + 𝑥 2 = 𝜉 𝐴 , 𝑥 2 − 𝑥 1 = 𝜉 𝐵 𝑚 𝜉 𝐴 =−𝑘 𝜉 𝐴 𝑚 𝜉 𝐵 =−(𝑘+2 𝑘 𝑃 ) 𝜉 𝐵 Dřív: dvě spřažené částice (polohy 𝑥 1 , 𝑥 2 , frekvence 𝜔 1 = 𝜔 2 ) Teď: dvě volné kvazičástice (polohy 𝜉 𝐴 , 𝜉 𝐵 , frekvence 𝜔 𝐴 ≠ 𝜔 𝐵 ) 𝜔 𝐴 = 𝑘 𝑚 ; 𝜔 𝐵 = 𝑘+2 𝑘 𝑃 𝑚 . Fonony. „Existence“, „realita“ – obojí jsou „jen“ modely FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.3 Speciální pohyby 3D: 5.3.1 Centrální pole Centrální silové pole 𝑓 ( 𝑟 ) s bodem O (centrum) směr síly 𝑓 ( 𝑟 ) - k bodu O (přitažlivá) či - od bodu O (odpudivá) velikost 𝑓 =𝑓 závisí jen na 𝑟= 𝑟 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.3.2 Obecné vlastnosti Centrální silové pole je konzervativní značme 𝐹(𝑟) = 𝑓(𝑟) ; pak 𝑓 𝑟 =−grad 𝑈(𝑟), kde 𝑈 𝑟 =−𝐹 𝑟 +𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 zachovává moment hybnosti 𝒃 d 𝑏 𝑟 d𝑡 = 𝑀 𝑟 = 𝑟 × 𝑓 𝑟 = 0 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

zachovává plošnou rychlost 𝒗 𝑷 𝒗 𝑷 = 1 2 𝑟 × 𝑣 = 1 2 𝑏 /𝑚 (5.3.2) Zákony zachování zachovává plošnou rychlost 𝒗 𝑷 𝒗 𝑷 = 1 2 𝑟 × 𝑣 = 1 2 𝑏 /𝑚 zachovává rovinu pohybu Rovina je určena centrem pole, 𝑟 0 , 𝑣 0 Směr kolmý k rovině 1 2 𝑟 × 𝑣 = 1 2 𝑏 /𝑚 zachován FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(5.3.2) Dva speciální případy Pružná síla 𝑓 𝑟 =−𝑘 𝑟 : prostorový oscilátor Gravitace 𝑓 𝑟 =−𝐺 1 𝑟 2 𝑟 0 : Keplerova úloha FyM – Obdržálek – 2018-05-11

jako Lissajousovy obrazce; 𝑥= 𝑥 𝑚 cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜑 1 𝑦= 𝑦 𝑚 cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜑 2 5.3.3 Prostorový oscilátor Pružná síla 𝑓 𝑟 =−𝑘 𝑟 : 𝑚 𝑥 =−𝑘𝑥 𝑚 𝑦 =−𝑘𝑦 jako Lissajousovy obrazce; 𝑥= 𝑥 𝑚 cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜑 1 𝑦= 𝑦 𝑚 cos 𝜔 1 𝑡+ 𝜑 2 trajektorie: elipsa (eliminací 𝜔 1 𝑡) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

5.4 Relaxační kmity (relaxace = uvolnění) střídání dvou režimů 𝑥 𝑥 + (relaxace = uvolnění) střídání dvou režimů např. nabíjení do hodnoty 𝑥 + vybíjení (uvolnění) do hodnoty 𝑥 − periodický pohyb, neharmonický dvě různé větve (popisují různé děje) bývá pevná amplituda ( 𝑥 + − 𝑥 − ) např.: blikání zářivky; třes organismu 𝑥 − 𝑡 FyM – Obdržálek – 2018-05-11