ŠTATISTIKA

Základné pojmy Štatistický súbor Rozsah súboru Kvantitatívny znak Kvalitatívny znak ARITMETICKÝ PRIEMER Geometrický, Harmonický priemer MODUS MEDIÁN Grafy -Polygón početnosti a histogram SMERODAJNÁ ODCHÝLKA DISPERZIA-ROZPTYL Štatistická závislosť znakov-KOEFICIENT KORElÁCIE

Pr.1 Vypočítajte priemerný prospech žiaka Janka Hraška na konci roka ak dosiahol takéto výsledky z jednotlivých predmetov Sj D Rj M F Bio Tv 2 1 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 OBSAH

Aritmetický priemer známok je: OBSAH

Def: Štatistickým súborom rozumieme danú konečnú neprázdnu množinu M Def: Štatistickým súborom rozumieme danú konečnú neprázdnu množinu M. (napr. množina predmetov, resp.známok) Počet n všetkých prvkov množiny M sa nazýva rozsah súboru. (počet predmetov-známok.....n=7) Kvantitatívnym znakom súboru M nazývame ľubovoľnú funkciu f, ktorá zobrazuje množinu M do množiny R. (Jednotlivým predmetom priradí známku, teda reálne číslo) (Hodnoty tejto funkcie označme x1, x2, ....xn)

ARITMETICKÝ PRIEMER Ak hodnoty množiny M označíme x1, x2, x3 …xn , tak aritmetickým priemerom znaku x je číslo OBSAH

Vážený priemer Absolútna početnosť Relatívna početnosť

Pr 2. V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: Chc ch1 ch2 ch3 ch4 ch5 ch6 ch7 ch8 Ch9 výška 160 168 174 171 179 190 Vypočítajte priemer (vážený) Modus Medián Smerodajnú odchýlku Zostrojte histogram OBSAH

Tabuľky Výška xi 160 X1 168 X2 171 X3 174 X4 X5 X6 179 X7 X8 190 X9 Xj Počet Nj 160 x1 1 n1 168 x2 n2 171 x3 n3 174 x4 3 n4 179 x5 2 n5 190 x6 n6 OBSAH

Priemer OBSAH

Geometrický priemer

Harmonický priemer

Pr. Vypočítajte AP, VP, GP, HP daného štatistického súboru: 2, 3, 5, 7, 9 3, 4, 5, 8, 10, 11, výsledky

Označenie: mod(x)=xj0, nj<nj0 MODUS Je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota spomedzi x1, x2, .....xn. Označenie: mod(x)=xj0, nj<nj0 OBSAH

MEDIÁN Je prostredná hodnota medzi číslami x1, x2, x3, .......xn ak ich usporiadame podľa veľkosti. Označenie: med(x) Poznámka: Ak rozsah súboru n je párne číslo, potom sú prostredné hodnoty dve a za medián sa berie ich aritmetický priemer. OBSAH

Grafické znázornenie štatistického súboru Histogram Spojnicový diagram Kruhový diagram

HISTOGRAM Je stĺpcový diagram, tvorený obdĺžnikmi, ktorých obsahy sú úmerné príslušným početnostiam, ktorých strana na osi x = hodnota znaku, strana na osi y = jeho početnosť.

Úloha 1: Znázornite pomocou histogramu hodnoty daného štatistického súboru. ( xj je výška chlapcov) 150 165 170 180 nj 2 3 1 4

Polygón početnosti = Spojnicový diagram polygón početnosti = spojnicový diagram, získame spojením bodov, u ktorých: súradnica x je hodnota sledovaného znaku, súradnica y = jeho početnosť, t.j. bodov

Úloha 2: Znázornite pomocou polygónu početnosti – spojnicového diagramu daný štatistický súbor. Xj 150 165 170 180 nj 2 3 1 4

Kruhový diagram diagram tvorený kruhom rozdelený, na kruhové výseky. Počet výsekovzodpovedá počtu štatistických tried. Veľkosti stredových uhlov týchto výsekov sú priamo úmerné početnosti daného znaku.

Úloha 3: Znázornite pomocou polygónu početnosti – spojnicového diagramu daný štatistický súbor. Xj 150 165 170 180 nj 2 3 1 4

PRÍKLADY K 13, K14, K17 OBSAH

Príklady K12, K14

Rozptyl a smerodajná odchýlka Okrem charakteristiky polohy je dobré vedieť aj to, nakoľko sa jednotlivé hodnoty od tejto charakteristiky odchyľujú. Na to sa obvykle používa tzv. smerodajná odchýlka resp. rozptyl. OBSAH

Def. : Nech x1, x2,. xn sú všetky hodnoty daného znaku x Def.: Nech x1, x2, ....xn sú všetky hodnoty daného znaku x. Potom sa číslo s nazýva SMERODAJNÁ ODCHÝLKA, pričom: OBSAH

Resp.

Poznámka: Čím je číslo s menšie, tým sú menšie rozdiely a tým sú čísla xi rozmiestnené bližšie okolo aritmetického priemeru.

Veta: Interval obsahuje aspoň všetkých členov x1,2, x3, .....xn. OBSAH

Druhá mocnina čísla s sa nazýva DISPERZIA alebo ROZPTYL

resp. OBSAH

Poznámka: Rozptyl, podobne ako smerodajná odchýlka, poukazuje na to, nakoľko sa odchyľujú jednotlivé čísla ( hodnoty štatistického súboru) od priemeru. OBSAH

V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: Riešme príklad 2: V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: Chc ch1 ch2 ch3 ch4 ch5 ch6 ch7 ch8 Ch9 výška 160 168 174 171 179 190 OBSAH

Smerodajná odchýlka Výpočet Tabuľka Kalkulačka

Štatistická závislosť znakov Zošit 3/str. 30 -33 KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

V mnohých prípadoch sa na prvkoch základného súboru sledujú dva znaky X, Y. Jednou z úloh matematickej štatistiky je kvantitatívne charakterizovať „mieru závislosti“ medzi týmito dvoma znakmi veličinami napr. medzi výškou a hmotnosťou študentov,

V aplikáciach matematickej štatistiky obľúbenou charakteristikou závislosti je KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

Def: Nech x1, x2, ......xn sú hodnoty znaku X Nech y1, y2, ......yn sú hodnoty znaku Y vo výberovom súbore Nech sú aritmetické priemery, resp. disperzie(rozptyly), resp. smerodajné odchýlky týchto znakov vo výberovom súbore, tj.

Výraz : sa nazýva KONVARIANCIA znakov X,Y

Koeficientom korelácie r je potom hodnota: OBSAH

Poznámka: Koeficient korelácie určuje, do akej miery lineárny vzťah y = ax+b aproximuje (približuje) hodnoty znaku Y hodnotami X. Zaužívalo sa nasledujúce odstupňovanie tesnosti lineárnej závislosti medzi hodnotami znakov X, Y :

Malá, ak Mierna, ak Silná, ak

Dá sa ukázať, že pre koeficient korelácie platí pričom vtedy a len vtedy, keď závislosť medzi znakmi X, Y je lineárna, t.j keď existujú také čísla a, b že y =ax+b OBSAH

Pr. (K20) Koľko členov sa pri výpočte určite pomýlilo? Osem žiakov z triedy vypočítalo koeficient korelácie medzi výškou a hmotnosťou členov svojej rodiny. V tabuľke sú uvedené ich výsledky. Koľko členov sa pri výpočte určite pomýlilo? Domáca úloha

žiak A B C D E F G H Koeficient korelácie 0,3 -0,7 1,2 -1,7 0,9 0,5 1,4 2,3 A) Štyria B) Traja C) Dvaja D) Jeden

Správna odpoveď je: Pomýlili sa štyria, teda A) lebo pre koeficient korelácie platí t. j.

Riešme príklad: str. 31-Pr.1 Vypočítajte koeficient korelácie a charakterizujte mieru väzby medzi výškou a hmotnosťou študentov.

Odpoveď Koeficient korelácie je 0,88. Na základe tohto výsledku možno hovoriť o silnej lineárnej závislosti medzi výškou a hmotnosťou študentov vybraného gymnázia. Domáca úloha 2

Pr. (K22) V tabuľke sú uvedené výsledky piatich žiakov, testovaných z matematiky a z fyziky. Z každého z testov sa dalo získať maximálne 15 bodov. Z čiastočného spracovania týchto výsledkov vyplýva, že z matematiky získali študenti priemerne 11 bodov, z fyziky 9,2 bodu. Smerodajná odchýlka pri teste z matematiky bola 2,4 bodu, pri teste z fyziky 2,2 bodu. Aký bol koeficient korelácie medzi obidvoma predmetmi? Domáca úloha

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Matematika 9 11 15 12 8 Fyzika 7 13 10 A) 0,4 B) 0,6 C) 0,8 D) 1

medzi dvoma predmetmi je Správna odpoveď je: Koeficient korelácie medzi dvoma predmetmi je 0,8 teda C.

Domáca úloha1: Matematika-zošit 3 .......Str.32- Pr. 2 Matematika- zošit 3..........Str.33- cv. 1 Zbierka..............................str. 56-pr. Zbierka..............................str. 57- pr. 8, 9 Matematika strednej školy v testoch 2.časť.......str.94/ K20, K22

Domáca úloha 2: Matematika strednej školy v testoch 2.časť.......str.94/ K22 Matematika 4. ročník ... Zošit 3/ str.32 –Pr.2 Zbierka 4. ročník ............Zošit 4/ OPAKOVANIE ŠTATISTIKY –písomka www.gdusecovce.edu.sk/ matematika/4. ročník – databáza úloh zo štatistiky (ukážky z monitorov – pravdepodobnosť a štatistika)

Ďakujem za pozornosť a prajem príjemný deň

Spracoval: Mgr. Róbert Janok Michal Bošiak-oktáva v šk. roku 2005/06 Boli použité aj príspevky študentov: Michal Bošiak-oktáva v šk. roku 2005/06 (úlohy K13,K14, K17-spracované v exeli) Lukáš Ďurkovič -4. I v šk. roku 2005/06 ( úlohy K12, K14) Gymnázium Sečovce, Kollárova 17