Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III.A Kombinatorika Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III.A

Obsah Dôkaz matematickou indukciou N – faktoriál Kombinačné čísla Pascalov trojuholník Binomická veta K-ty člen binomického rozvoja Definičné obory Úvod do kombinatoriky Kombinačné úlohy Variácie Permutácie Kombinácie Variácie s opakovaním Permutácie s opakovaním Kombinácie s opakovaním Pravidlo súčtu Pravidlo súčinu

I. Dôkaz mat. indukciou Využívame pre mat. vety, kt. treba dokázať alebo pre prir. čísla od nejakého Dôkaz mat. indukciou pozostáva z 2 krokov: Vetu dokážeme pre prvé prirodzené číslo Indukčný krok Z predpokladu, že veta platí pre n=k dokážeme platnosť vety

Príklad

II. N-faktoriál Využíva sa pri výpočtoch v kombinatorických úlohách Definujeme ho ako Vyjadrenie niektorých n!

Príklad

III. Kombinačné čísla Kombinačné číslo Majú niekoľko základných vlastností: Pre každé platí: Určitá vlastnosť umožňuje vypočítať kombinačné čísla len za pomoci sčítavania, bez vyčísľovania faktoriálov. Často sa vyskytujú v kombinatorike.

Príklad

IV. Pascalov trojuholník Je zostavený z kombinačných čísel. V tejto schéme sa všetky krajné čísla rovnajú 1 a každé ďalšie číslo sa rovná súčtu dvoch čísel bezprostredne nad ním, využívame 3 základnú vlastnosť a to: Pascalov trojuholník má zvislú os súmernosti. Číslo na k-tom mieste v n-tom riadku má hodnotu

V. Binomická veta Kombinačné čísla majú ešte množstvo zaujímavých vlastností. Jedna z nich vyplýva z binomickej vety:

Príklad

VI. K-ty člen bin. rozvoja Čísla v jednom riadku Pascalovho trojuholníka sú vlastne koeficienty rozvoja pre odpovedajúce n. Binomický rozvoj má sčítancov. Pre k-ty člen binomického rozvoja platí:

Príklad

VII. Definičné obory Pre n-faktoriál Pre kombinačné čísla Vyjadruje sa z najmenšieho n-faktoriálu n≥ 0 Pre kombinačné čísla V kombinačnom čísle musí byť n väčšie rovné k n ≥k

VIII. Úvod do kombinatoriky Kombinatorika: Je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá riešením úloh typu: „Koľkými spôsobmi možno vybrať isté objekty? ” „ Koľkými spôsobmi možno usporiadať isté objekty? ” „ Koľkými spôsobmi zoradiť isté objekty? ” Ponúka niekoľko pravidiel na riešenie jednoduchých úloh: Pravidlo súčtu. Pravidlo súčinu. Ak sa vyskytnú zložitejšie, je treba si ich rozdeliť na jednoduché podúlohy.

IX. Kombinačné úlohy Delíme na 6 základných typov: Permutácie Kombinácie Variácie Permutácie s opakovaním Kombinácie s opakovaním Variácie s opakovaním

X. Variácie Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: „Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania?“ „Koľko usporiadaných k-tic možno vytvoriť z n prvkov?“ Každú usporiadanú k-ticu z daných n prvkov nazývame k-prvkovou variáciou z n prvkov. Počet všetkých takýchto variácií označujeme V(k,n) Platí:

Príklad

XI. Permutácie Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: „Koľkými spôsobmi možno zoradiť do radu prvky neprázdnej konečnej n-prvkovej množiny? ” Každé jedno zoradenie nazývame permutáciou (poradím) prvkov danej množiny. Permutácie možno reprezentovať usporiadanými n-ticami prvkov danej n-prvkovej množiny. Počet všetkých permutácií n prvkov označujeme P(n). Pre ich počet platí:

Príklad

XII. Kombinácie Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: „ Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať objektov, ak nezáleží na poradí vyberania? ” „ Koľko k-prvkových množín má n-prvková množina? ” Každý jeden výber k prvkov z daných n-prvkov nazývame k-prvkovou kombináciou z n-prvkov. Keďže nezáleží na poradí vyberania, možno kombinácie chápať ako neusporiadané k-tice, t.j. k-prvkové podmnožiny. Počet k-prvkových kombinácií z n prvkov označujeme Pre ich počet platí:

Príklad

XIII. Variácie s opakovanám Základný typ kombinačnej úloh, ktorá rieši úlohy typu: “Koľkými spôsobmi možno z daných n objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát?“ Každý taký výber nazývame k-prvkovou variáciou s opakovaním z n prvkov a ich celkový počet označujeme V’(k, n). Platí:

Príklad

XIV. Permutácie s opakovaním Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: Majme n1 objektov prvého druhu, n2 objektov druhého druhu, ... atď. ak nk objektov k-teho druhu tak koľkými spôsobmi možno týchto n1 + n2 + ... + nk objektov usporiadať do radu?“ Každé také usporiadanie nazývame permutáciou s opakovaním, ich celkový počet označujeme Počítame ho zo vzorca:

Príklad

XV. Kombinácie s opakovaním Základný typ kombinačnej úlohy ktorá rieši úlohy typu: Koľkými spôsobmi môžeme z daných n objektov vybrať k objektov, ak nezáleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát?“ Každý z možných výberov nazývame k-prvkovou kombináciou s opakovaním z n prvkov. Ich celkový počet označujeme K’(k, n) Počítame podľa vzorca:

Príklad

XVI. Pravidlo súčtu Ak je úlohou zistiť počet prvkov nejakej množiny M, môžeme množinu M rozložiť na niekoľko disjunktných podmnožín M = M1  M2  …  Mk a určiť počty prvkov množín Mi. Potom platí: |M| = |M1| + |M2| + ... + |Mk|

XVII. Pravidlo súčinu Predpokladáme, že máme vybrať dva prvky a, b, pričom prvý vyberáme z konečnej neprázdnej množiny A a druhý z konečnej neprázdnej množiny B. V prípade, že výber prvku b nezávisí od výberu prvku a, je spolu |A|.|B| možností, ako vybrať tieto dva prvky.