Vzdělávání pro konkurenceschopnost Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název a adresa školy: Integrovaná střední škola Cheb, Obrněné brigády 6, 350 11 Cheb Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0290 Číslo a název klíčové aktivity: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo DUM: VY_32_INOVACE_02Eff_3 Název DUM: 3 Kombinatorika II. – Faktoriál, variace, permutace Jméno autora: Mgr. Věra Effenberger Ročník: 3. a 4. ročník Vzdělávací oblast: matematika - kombinatorika Vzdělávací obor: studijní Klíčová slova: faktoriál, variace, variace s opakováním, permutace Anotace: materiál definuje a procvičuje faktoriál, variace, permutace Druh učebního materiálu: prezentace Očekávaný výstup: definice a použití faktoriálu, rozeznání variace a permutace, výpočet příkladů Metodika učebního materiálu: Jedná se o prezentaci, která se se slovním doprovodem přehraje krok za krokem žákům. K prezentaci patří též pracovní list 4 Faktoriál, variace, variace s opakováním, permutace, jehož součástí jsou příklady v prezentaci a další příklady na procvičení látky.

Faktoriál Variace Permutace KOMBINATORIKA II. Faktoriál Variace Permutace

Faktoriál Definice: Faktoriál čísla (píšeme n!, čteme „n faktoriál“) je číslo rovné součinu: tedy: dále definujeme:

Variace Definice: k-členná variace z n prvků je uspořádaná k- tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou. [1] Počet všech k-členných variací z n prvků je:

Variace Příklad: Žáci jedné třídy mají mezi sebou vybrat zástupce třídy, pokladníka a zapisovatele. Ve třídě je celkem 28 žáků. Určete počet všech možností výběru této trojice.

Variace Příklad - řešení: Jedná se o výběr uspořádané trojice a to z toho důvodu, že záleží na tom, kdo bude kým (zástupcem, pokladníkem či zapisovatelem). Proto se jedná o variace třetí třídy z 28 prvků. Výpočet: Počet možností výběru zástupce, účetního a zapisovatele je 19 656.

Variace s opakováním Definice: k-členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše k-krát. [1] Počet všech k-členných variací s opakování z n prvků je:

Variace s opakováním Příklad: Trezor má šestimístný číselný kód. Určete nejdelší dobu rozkódování trezoru, jestliže by zkouška jedné varianty trvala 2 sekundy.

Variace s opakováním Příklad - řešení: Jelikož záleží na pořadí čísel v kódu, jde o variace. Protože číslice se v kódu mohou opakovat, jde o variace s opakováním. Na výběr máme z 10 číslic (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9). Výpočet: Rozkódování bude trvat nejdéle 23 dnů 3 hodiny a 2 sekundy.

Permutace Definice: Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků. [1] Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou. [1] Počet všech permutací z n prvků je:

Permutace Příklad: Vojenská četa o patnácti členech má nastoupit do řady. Kolika způsoby to může provést?

Permutace Příklad - řešení: Protože záleží na pořadí nastoupených vojínů, jedná se o uspořádané 15-tice, konkrétně o permutace 15 prvků (jelikož z 15 prvků vybíráme všech 15). Výpočet: Vojenská četa může nastoupit 1 307 674 368 000 možnostmi.

Zdroje: [1] CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha, Prometheus 1993, ISBN 80-85849-10-0