MATEMATIKA – ARITMETIKA 8 NÁZEV ŠKOLY: ZŠ KOLÍN V., Mnichovická 62 AUTOR: Ing. Martina Šťastná NÁZEV: VY_32_INOVACE_20_M8_ODVOZENÍ VZORCE (a+b)2 TEMA: ODVOZENÍ VZORCE (a+b)2 DATUM VYTVOŘENÍ: 23.4.2013 MATEMATIKA – ARITMETIKA 8 ODVOZENÍ VZORCE (a + b)2

JAK NÁSOBÍME ALGEBRAICKÉ VÝRAZY? 2 . x = 2x x . y = xy 2x . 3x = 6x2 2 x . 3 x = 6x2 5 ( 2x + 6) = 10x +30 x (– 4 – 2x) = – 4x – 2x2 3x ( 2 – 8x) = 6x – 24x2 ( 2 + x )∙( 3 – x) = 6 – 2x + 3x – x2 = 6 + x – x2

JAK UMOCŇUJEME ALGEBRAICKÉ VÝRAZY ? Jednotlivé členy algebraických výrazů jsou od sebe oddělené znaménky PLUS nebo MÍNUS ! POUZE JEDEN ČLEN: (3x)2 = 9x2 (-5xy)2 = 25 x2y2 DVA ČLENY – DVOJČLEN: ( 3 – x )2 = ? POZOR: ( 3 – x )2 = ( 3 – x ) ∙ ( 3 – x ) nikoliv 32 – x2 ( 3 – x )2 = ( 3 – x ) ∙ ( 3 – x ) = 9 – 3x – 3x + x2 = 9 – 6x –x2

ZOBECNĚNÍ (a + b)2 b ab b2 b a a2 ab a a b Abychom nemuseli pokaždé dvě závorky roznásobovat, zkusme si druhou mocninu dvojčlenu graficky odvodit. DRUHÁ MOCNINA = OBSAH ČTVERCE, čtverec o straně a+b OBSAH ČTVERCE o straně a+b je tedy: a2 + ab + ab + b2 = = a2 + 2ab + b2 b ab b2 b a a2 ab a a b

OVĚŘENÍ ROZNÁSOBENÍM (a + b)2 Zkusme (a + b)2 roznásobit, zda dojdeme ke stejnému výsledku. (a+b)∙(a+b) = = a2 + ab + ba + b2 = = a2 + 2ab + b2 b ab b2 b a a2 ab a a b

? (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ZKOUŠKA ZNALOSTÍ ( 2+ x )2 = ( 3x + 4 )2 = Následující výrazy upravte podle vzorce: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ( 2+ x )2 = ( 3x + 4 )2 = ( m + 3n )2 = ( 5 + 2x )2 = ( 7x + y )2 = ( x2 + 4 )2 = ?

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ŘEŠENÍ: ( 2+ x )2 = 4 + 4x + x2 Následující výrazy upravte podle vzorce: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ( 2+ x )2 = 4 + 4x + x2 ( 3x + 4 )2 = 9x2 + 24x + 16 ( m + 3n )2 = m2 + 6mn + 9n2 ( 5 + 2x )2 = 25 + 20x + 4x2 ( 7x + y )2 = 49x2 + 14xy + y2 ( x2 + 4 )2 = x4 + 8x2 + 16

ANOTACE: použitá literatura: Tento výukový materiál bude využíván při hodině aritmetiky v 8. ročníku pro odvození vzorce na úpravu algebraických výrazů. Na začátku hodiny si zopakujeme na několika příkladech násobení a umocňování algebraických výrazů. Zavedeme pojmy člen a dvojčlen. Pomocí násobení dvou závorek vypočítáme druhou mocninu dvojčlenu. Dvojčlen zobecníme a znázorníme ho graficky jako čtverec. Druhá mocnina bude tedy představovat obsah čtverce. Čtverec rozdělíme na dva různé čtverce a dva shodné obdélníky, sečtením jejich obsahů získáme obecný vzorec. Správnost grafické metody ještě ověříme roznásobením. Závěr je věnovaný krátkému testu znalostí s následným řešením. použitá literatura: učebnice Matematika 8 – Aritmetika, Binterová, Fuchs, Tlustý; nakladatelství Fraus, Plzeň 2007