CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Hradecká 1151, 500 03 Hradec Králové Exponenciální funkce Hradec Králové 6. 11. 2012

Tento učební materiál vznikl za podpory OPVK 1.5 Název školy CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Číslo projektu CZ 1.07/1.5.00/34.0314 Název projektu Moderní škola Číslo DUM CSA_OPVK15_109 Předmět Matematika Tematický celek Funkce Název materiálu Exponenciální funkce Autor Mgr. Dominika Vítová Datum ověření, třída 6. 11. 2012 Časová dotace 45 min. Pomůcky Projektor, tabule, počítač Vzdělávací cíl Student se seznámí s exponenciální funkcí, jejím grafem a jejím využitím v praxi.

Definice Exponenciální funkce o základu a se nazývá funkce daná rovnicí kde Je-li je a jedná se o konstantní funkci

Vlastnosti (1) a > 1 0 < a < 1

Vlastnosti (2) Asymptotou těchto grafů je osa x Definiční obor je R Obor hodnot je Pro a > 1 je funkce rostoucí a tedy prostá Pro 0 < a < 1 je funkce klesající a tedy prostá Je zdola omezená, shora není omezená Nemá maximum ani minimum f(0) = 1 čím více se a blíží 0 nebo nekonečnu, tím více se graf blíží k ose y Změna sklonu grafu viz http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jaroslav_richter/kap4/kap4.php?sec=all

Důležité exponenciální funkce Přirozená exp. funkce e … Eulerovo číslo Dekadická exp. funkce

Příklad 1 Asymptotou zůstává osa x Průsečík s osou y:

Příklad 2 Průsečík s osou x: Asymptota grafu funkce se posune do bodu y = - 4 Průsečík s osou y: Průsečík s osou x:

Příklad 3 Asymptotou zůstává osa x Funkci můžeme přepsat do tvaru: Průsečík s osou y:

Exponenciální růst (1) poměrně často používán i v běžné mluvě – znamená, že něco stoupá velmi rychle klasickým případem může být dělení bakterií, které se množí například tak, že se rozdvojí - tento způsob množení můžeme popsat exponenciální funkcí f(x) = 2x Funkční hodnota nám bude udávat počet bakterií po x kolech dělení.

Exponenciální růst (2) Příklad: Na začátku (nulový počet rozdvojení, x = 0) máme jednu bakterii: 20 = 1 Po prvním kole množení: 21 = 2, tj. dvě bakterie Nyní se obě z těchto bakterií rozdvojí: 22 = 4, tj. čtyři bakterie Opět se každá rozdvojí: 23 = 8, tj. bakterií. A tak dále. Toto množení je strašně rychlé. Kolik bakterií máme po desátém kole? 210 = 1024 Po dvaceti kolech máme: 220 = 1 048 576 Po třiceti kolech se už dostáváme přes miliardu.

Exponenciální růst (3) Tato rychlost je mnohem větší než v případě obyčejné kvadratické rovnice. Pokud bychom srovnali rychlost exponenciální funkce f(x) = 2x a kvadratické funkce g(x) = x2, exponenciální funkce jednoznačně zvítězí. Už známe hodnotu funkce f v bodě x = 20, přitom hodnota kvadratické funkce g v bodě x = 20 je rovna: g(20) = 202 = 400 - to je mnohonásobně méně než 1 048 576.

Použité zdroje KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 80-868-7303-X. Vlastnosti funkcí. Matematika polopatě [online]. 2006—2013 [cit. 2012-07-12]. Dostupné z: http://www.matweb.cz/funkce Funkce exponenciální. Funkce [online]. 2012 [cit. 2012-07-12]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jaroslav_richter/kap4/kap4.php?sec=all