Přímka a kuželosečka www.zlinskedumy.cz Název školy Gymnázium Zlín - Lesní čtvrť Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0484 Název projektu Rozvoj žákovských kompetencí pro 21. století Název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM Přímka a kuželosečka Označení DUM VY_32_INOVACE_02_2_12 Autor RNDr. Jana Sušilová Datum 12.12.2013 Vzdělávací oblast Člověk a příroda Vzdělávací obor Matematika Tematický okruh Analytická geometrie Ročník 4. ročník gymnázia www.zlinskedumy.cz

Přímka a kuželosečka

1. Vzájemná poloha přímky a kružnice sečna 2 společné body tečna 1 společný bod tečna je kolmá k ST vnější přímka žádný společný bod

Příklad 1: Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k Určíme, kolik mají útvary společných bodů: 2𝑥−𝑦−1=0 ⟹ 𝑦=2𝑥−1 𝑥 2 + 𝑦 2 =1 𝑥 2 + 2𝑥−1 2 =1 𝑥 2 +4 𝑥 2 −4𝑥+1=1 5 𝑥 2 −4𝑥=0 𝑥. 5𝑥−4 =0 ⟹ soustava rovnic má dvě řešení Přímka má s kružnicí dva společné body 𝐴 0, −1 a 𝐵 4 5 , 3 5 přímka je sečna kružnice

Příklad 2: Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k Spočítáme vzdálenost středu 𝑆 −3, 1 dané kružnice od dané přímky: 𝑆𝑝 = −3+2+6 1+4 = 5 5 = 5 𝑟= 2 𝑆𝑝 >𝑟 přímka p nemá s kružnicí k žádné společné body p je vnější přímka kružnice k

2. Vzájemná poloha přímky a elipsy sečna 2 společné body tečna 1 společný bod vnější přímka žádný společný bod

Příklad 3: Určete vzájemnou polohu přímky p a elipsy e Určíme, kolik mají útvary společných bodů: 𝑥−𝑦=0 ⟹ 𝑥=𝑦 𝑥−1 2 +4 𝑦 2 =4 𝑦−1 2 +4 𝑦 2 =4 5 𝑦 2 −2𝑦−3=0 𝐷=4−4.5. −3 =64 𝐷>0 ⟹ soustava rovnic má dvě řešení Přímka má s elipsou dva společné body 𝐴 1, 1 a 𝐵 − 3 5 , − 3 5 přímka je sečna

Příklad 4: Je dána elipsa e a přímka p: 𝑒: 𝑥 2 4 + 𝑦 2 =1, 𝑝: 𝑥−𝑦+2=0 . Napište rovnici tečny t rovnoběžné s danou přímkou p. 𝒕∥𝒑 ⟹ 𝒕:𝒙−𝒚+𝒄=𝟎 Číslo c určíme z podmínky, že se jedná o tečnu kružnice, tzn. soustava rovnic 𝑥 2 4 + 𝑦 2 =1, 𝑥−𝑦+𝑐=0 má jediné řešení. 𝑥 2 +4 𝑦 2 =4 𝑥−𝑦+𝑐=0 𝐷=−16 𝑐 2 +80 𝐷=0 ⟹ 𝑐 = 5 𝑥 2 +4 𝑥+𝑐 2 =4 5𝑥 2 +8𝑥𝑐+4 𝑐 2 −4=0 𝑡 1 :𝑥−𝑦+ 5 =0 𝑡 2 :𝑥−𝑦− 5 =0 𝐷= 8𝑐 2 −4.5. 4 𝑐 2 −4

3. Vzájemná poloha přímky a hyperboly sečna 2 společné body vnější přímka žádný společný bod

3. Vzájemná poloha přímky a hyperboly tečna 1 společný bod 1 společný bod přímka p není tečnou hyperboly

Příklad 5: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h Určíme, kolik mají útvary společných bodů: 𝑥+𝑦−1=0 ⟹ 𝑥=1−𝑦 𝑥 2 −2 𝑦 2 =4 1−𝑦 2 −2 𝑦 2 =4 1−2𝑦+ 𝑦 2 −2 𝑦 2 =4 𝑦 2 +2𝑦+3=0 𝐷=4−4.3=−12 𝐷<0 ⟹ soustava rovnic nemá řešení Přímka nemá s hyperbolou žádný společný bod.

Příklad 6: Je dána hyperbola h a přímka p: ℎ: 𝑥 2 − 𝑦 2 =4, 𝑝: 𝑦=2𝑥 . Napište rovnici tečny t rovnoběžné s danou přímkou p. 𝒕∥𝒑 ⟹ 𝒕:𝒚=𝟐𝒙+𝒒 Číslo q určíme z podmínky, že se jedná o tečnu hyperboly, tzn. soustava rovnic 𝑥 2 − 𝑦 2 =4, 𝑦=2𝑥+𝑞 má jediné řešení. 𝑥 2 − 𝑦 2 =4 𝑦=2𝑥+𝑞 𝐷=4 𝑞 2 −48 𝐷=0 ⟹ 𝑐 = 12 𝑥 2 − 2𝑥+𝑞 2 =4 𝑥 2 −4 𝑥 2 −4𝑥𝑞− 𝑞 2 =4 3 𝑥 2 +4𝑥𝑞+ 𝑞 2 +4=0 𝑡 1 :𝑦=2𝑥+ 12 =0 𝑡 2 :𝑦=2𝑥− 12 =0 𝐷= 4𝑞 2 −4.3. 𝑞 2 +4

4. Vzájemná poloha přímky a paraboly sečna 2 společné body vnější přímka žádný společný bod

4. Vzájemná poloha přímky a paraboly tečna 1 společný bod 1 společný bod přímka p není tečnou paraboly

Příklad 7: Určete vzájemnou polohu přímky q a paraboly p Určíme, kolik mají útvary společných bodů: 2𝑥−2𝑦−1=0 ⟹ 𝑥= 1+2𝑦 2 𝑦 2 =2 𝑥−1 𝑦 2 =2 1+2𝑦 2 −1 𝑦 2 −2𝑦+1=0 𝑦−1 2 =0 soustava má jedno řešení 𝑦=1, 𝑥= 3 2 přímka má s parabolou jeden společný bod, není rovnoběžná s osou paraboly, přímka q je tečna paraboly p 𝑝∩𝑞= 𝑇 𝑇 3 2 , 1

Příklad 8: Bodem 𝑇 1 2 , 𝑦 0 paraboly 𝑝: 𝑥 2 +2𝑥−𝑦=0 veďte přímku, která má s danou parabolou společný právě jeden bod. Zadání vyhovují dvě přímky – tečna t a přímka q rovnoběžná s osou paraboly. 𝑝: 𝑥 2 +2𝑥−𝑦=0 𝑝: 𝑥+1 2 =𝑦+1 ⟹ 𝑇 1 2 , 5 4 ⟹ 𝑉 −1,−1 𝑡: 𝑥 0 +1 . 𝑥+1 = 1 2 . 𝑦+ 𝑦 0 +2 1 2 +1 . 𝑥+1 = 1 2 . 𝑦+ 5 4 +2 𝑡:12𝑥−4𝑦−1=0 𝑞∥𝑜 , osa paraboly je rovnoběžná s osou 𝑦, proto 𝑞:𝑥= 1 2

Konec