CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Hradecká 1151, 500 03 Hradec Králové Kvadratická funkce Hradec Králové 18.9.2012

Tento učební materiál vznikl za podpory OPVK 1.5 Název školy CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Číslo projektu CZ 1.07/1.5.00/34.0314 Název projektu Moderní škola Číslo DUM CSA_OPVK15_102 Předmět Matematika Tematický celek Funkce Název materiálu Kvadratická funkce Autor Mgr. Dominika Vítová Datum ověření, třída 18.9.2012, 2A Časová dotace 45 min. Pomůcky Dataprojektor, tabule, fix na tabuli Vzdělávací cíl Student se seznámí s kvadratickou funkcí a naučí se sestrojit její graf. Student rozlišuje různá zadání kvadratických funkcí a je schopen určit orientaci a vrchol paraboly a průsečíky s osami x,y.

Definice Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce daná rovnicí y = ax2 + bx + c , kde a je reálné číslo různé od 0 a b, c jsou libovolná reálná čísla. ax2 … kvadratický člen bx …lineární člen c …absolutní člen Grafem je vždy PARABOLA, jejíž osa je vždy rovnoběžná s osou y. Pro zakreslení do soustavy souřadnic je nutné znát především VRCHOL paraboly.

b = c = 0 → y = ax2 a > 0 y = x2 y = 4x2 a < 0 y = - x2 y = −¼x2

b = 0 → y = ax2 + c Graf funkce zůstává osově souměrný podle osy y, ale vrchol paraboly se posouvá do hodnoty parametru c Př. y = x2 + 2

y = ax2 + bx + c V případě, že žádný z koeficientů a, b, c se nerovná nule, použijeme pro zjištění vrcholu paraboly metodu DOPLNĚNÍ NA ČTVEREC Známý tvar: f(x) = ax2 + bx + c Tento tvar převedený na čtverec by vypadal takto: f(x) = (x + m)2 + n Vrchol by měl poté souřadnice V[−m, n].

Doplnění na čtverec – příklad (1) y = x2 + 4x + 1 1) Vytvoříme závorku (x + m), kde m se rovná polovině parametru b y = (x+2)2 = x2 + 4x + 4 2) Pokud ale roznásobíme vzniklou závorku, nevznikne původní funkce, proto od závorky odečteme nový parametr c a přičteme ten původní y = (x+2)2 - 4 + 1 = (x+2)2 – 3

Doplnění na čtverec – příklad (2) 3) y = (x+2)2 – 3 původní zápis byl převeden na čtverec, ze kterého získáváme souřadnice vrcholu V[−2, -3] Univerzální vzorec pro výpočet vrcholu paraboly

Doplnění na čtverec – příklad (3) 4) Pro přesnější zakreslení do grafu vypočteme průsečíky s osami x, y a zakreslíme graf funkce Průsečík s Oy: x = 0 y = 1 Průsečík s Ox: y = 0 x2 + 4x + 1 = 0 D = 12 X1,2= (-4 ± 2√3)/2 Úkol: Určete vlastnosti této funkce.

Příklady Funkce y = 4x2 y = x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 y = x2 - 3 Vrchol V[0; 0] V[2; 0] V[0; -3] V[2; 2] – parabola bude mít tvar kopce protože a < 0

Použité zdroje KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 80-868-7303-X. Vlastnosti funkcí. Matematika polopatě [online]. 2006—2013 [cit. 2012-07-12]. Dostupné z: http://www.matweb.cz/funkce