Soustavy rovnic Řešení soustav lineárních a kvadratických rovnic s více neznámými 5. ( řešené úlohy)

. Pro jakou hodnotu parametru p je přímka x – 2y + 5 = 0 tečnou paraboly y2 = 2px? Řešíme soustavu kvadratické a lineární rovnice: 𝑦 2 =2𝑝𝑥 𝑥−2𝑦+5=0 𝑥=2𝑦−5 Dosadíme do rovnice paraboly a řešíme kvadratickou rovnici: 𝑦 2 =2𝑝∙ 2𝑦−5 𝑦 2 =4𝑝𝑦−10𝑝 𝑦 2 −4𝑝𝑦+10𝑝=0

Určíme koeficienty kvadratické rovnice: 𝑎=1, 𝑏=−4𝑝, 𝑐=10𝑝 Vypočítáme hodnotu D: 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝐷= −4𝑝 2 −4∙1∙10𝑝 𝐷=16 𝑝 2 −40𝑝 Pro tečnu musíme splnit podmínku: 𝐷=0 16 𝑝 2 −40𝑝=0 8𝑝∙ 2𝑝−5 =0 8𝑝=0 𝑛𝑒𝑏𝑜 2𝑝−5=0 𝑝=0 𝑛𝑒𝑏𝑜 𝑝=2,5 Pozn. p je parametr, tedy velikost úsečky. Přímka 𝒙−𝟐𝒚+𝟓=𝟎 je tečnou paraboly pro p=2,5

2. Veďte k parabole tečnu rovnoběžnou s danou přímkou: x2 = 5y; x + y + 6 = 0 Musíme si uvědomit, že rovnoběžné přímky zadané obecnou rovnicí mají souřadnice normálových vektorů v lineární kombinaci, liší se jen hodnotou c. Rovnice hledané tečny bude 𝑥+𝑦+𝑐=0. Z rovnice vyjádříme proměnnou a dosadíme do rovnice paraboly: 𝒚=−𝒙−𝒄 𝑥 2 =5∙ −𝑥−𝑐 𝑥 2 =−5𝑥−5𝑐 𝒙 𝟐 +𝟓𝒙+𝟓𝒄=𝟎 𝑎=1 𝑏=5 𝑐=5𝑐

Vypočítáme hodnotu D: 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝐷= 5 2 −4∙1∙5𝑐 𝐷=25−20𝑐 Pro tečnu musíme splnit podmínku: 𝐷=0 20𝑐=25/:5 𝒄= 𝟓 𝟒 Dosadíme do rovnice přímky za hodnotu c a dořešíme: 𝑥+𝑦+𝑐=0 𝑥+𝑦+ 5 4 =0/∙4 4𝑥+4𝑦+5=0 Přímka, která je rovnoběžná se zadanou tečnou má rovnici: 𝟒𝒙+𝟒𝒚+𝟓=𝟎

3. Napište rovnice tečen, které lze sestrojit z bodu M [1; -1] k dané parabole y2 – 4x + 2y + 9 = 0. Obecnou rovnici paraboly upravíme na vrcholovou rovnici . 𝑦 2 −4𝑥+2𝑦+9=0 𝑦 2 +2𝑦=4𝑥−9 𝑦 2 +2𝑦+1 −1=4𝑥−9 𝑦+1 2 =4𝑥−8 𝒚+𝟏 𝟐 =𝟒∙ 𝒙−𝟐 2𝑝=4 𝒑=𝟐 Nyní rozepíšeme rovnici paraboly na budoucí rovnici tečny: 𝑦+1 ∙ 𝑦 0 +1 =2∙ 𝑥−2 +2∙ 𝑥 0 −2

𝑦+1 ∙ 𝑦 0 +1 =2∙ 𝑥−2 +2∙ 𝑥 0 −2 Bod M 1;−1 náleží tečně, dosadíme souřadnice do rovnice tečny za proměnnou x: 1+1 ∙ 𝑦 0 +1 =2∙ −1−2 +2∙ 𝑥 0 −2 2∙ 𝑦 0 +1 =−6+2∙ 𝑥 0 −2 2 𝑦 0 +2=−6+2 𝑥 0 −4 −2𝑥 0 +2 𝑦 0 +12=0 𝒙 𝟎 − 𝒚 𝟎 −𝟔=𝟎 Vypočítáme souřadnice bodu 𝑇 𝑥 0 ; 𝑦 0 Bod T leží na rovnici tečny paraboly a současně leží na parabole. Tato podmínka bude splněna řešením soustavy rovnic.

𝑦 0 2 −4 𝑥 0 +2 𝑦 0 +9=0 𝑥 0 − 𝑦 0 −6=0 Z druhé rovnice vyjádříme neznámou a dosadíme do kvadratické rovnice 𝑥 0 = 𝑦 0 +6 𝑦 0 2 −4 𝑦 0 +6 +2 𝑦 0 +9=0 𝑦 0 2 −4 𝑦 0 −24+2 𝑦 0 +9=0 𝑦 0 2 −2 𝑦 0 −15=0 𝐷=64 𝐷 =8 𝑦 0,1 =5 𝑥 0,1 =11 𝑦 0,2 =−3 𝑥 0,2 =3 Souřadnice bodu : 𝑻 𝟏 𝟏𝟏;𝟓 𝒂 𝑻 𝟐 𝟑;−𝟑

Získané souřadnice dosadíme do připravené rovnice tečny za neznámé 𝑥 0 ; 𝑦 0 : 𝑦+1 ∙ 𝑦 0 +1 =2∙ 𝑥−2 +2∙ 𝑥 0 −2 𝑻 𝟏 𝟏𝟏;𝟓 𝑦+1 ∙ 5+1 =2∙ 𝑥−2 +2∙ 11−2 𝑦+1 ∙6=2∙ 𝑥−2 +2∙9 6𝑦+6=2𝑥−4+18 −2𝑥+6𝑦−8=0/: −2 𝒕 𝟏: 𝒙−𝟑𝒚+𝟒=𝟎

𝑻 𝟐 𝟑;−𝟑 𝑦+1 ∙ 𝑦 0 +1 =2∙ 𝑥−2 +2∙ 𝑥 0 −2 𝑦+1 ∙ −3+1 =2∙ 𝑥−2 +2∙ 3−2 𝑦+1 ∙ −2 =2∙ 𝑥−2 +2 −2𝑦−2=2𝑥−4+2 −2𝑥−2𝑦=0/: −2 𝒕 𝟐: 𝒙+𝒚=𝟎 Výsledkem řešení jsou rovnice 2 tečen : 𝑻 𝟏 𝟏𝟏;𝟓 : 𝒕 𝟏: 𝒙−𝟑𝒚+𝟒=𝟎 𝑻 𝟐 𝟑;−𝟑 : 𝒕 𝟐: 𝒙+𝒚=𝟎

Literatura: KOČANDRLE, M. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. 1. vyd. Praha : Prometheus 1995, ISBN 80-7196-120-5 http://www.ucebnice.krynicky.cz/