Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými

Název školy: Základní škola a mateřská škola, Hlušice Autor: Mgr. Ortová Iveta Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3235 Název: VY_32_INOVACE_5C_20_Soustavy dvou lineární rovnic se dvěma neznámými Téma: Matematika pro 2. stupeň ZŠ

Anotace: Materiál je vytvořen pro výklad na téma soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Obsahuje výklad řešení těchto soustav pomocí metod: sčítací, dosazovací, kombinovaná Součástí je řešení soustav o dvou neznámých Obsahuje příklady na procvičení

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Rovnice, kterou lze upravit na tvar ax + by = c, a, b, c jsou libovolná reálná čísla, x, y jsou neznámé - nazýváme lineární rovnicí se dvěma neznámými Řešení rovnice je uspořádaná dvojice čísel [x ; y], x, y jsou reální čísla Součástí řešení je ZKOUŠKA

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Řešení soustav dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými: Metoda: Dosazovací Sčítací Kombinovaná Grafická

Dosazovací metoda 3x – 5y = 6 x + 4y = -15 Z kterékoli rovnice vyjádříme jednu neznámou, snažíme se o nejvýhodnější postup. Zde si vyjádříme z 2. rovnice neznámou x x + 4y = -15 / - 4y x = -15 – 4y

Dosazovací metoda Vyjádřenou neznámou z 2. rovnice dosadíme do 1. rovnice. 3 . (- 15 – 4y) – 5y = 6 - 45 – 12y – 5y = 6 / + 45 - 17y = 6 + 45 - 17y = 51 / : (-17) y = - 3 Vypočítanou hodnotu y dosadíme do rovnice x = - 15 – 4y x = -15 – 4 . (-3) x = -15 + 12 x = - 3

Dosazovací metoda Poslední součástí řešení je zkouška správnosti řešení: dosazujeme do zadání: L1 = 3x – 5y = 3.(-3) – 5.(-3) = - 9 + 15 = 6 P1 = 6 L2 = x + 4y = -3 + 4.(-3) = -3 – 12 = -15 P2 = -15 L1 = P1 L2 = P2

Sčítací metoda Tato metoda je založena na vyloučení neznámé x a poté neznámé y (lze i naopak) Jestliže chceme z rovnice vyjádřit neznámou x, musíme každou rovnici vynásobit takovým číslem, aby vznikly dvě rovnice, které obsahují opačné výrazy s x. Poté rovnice sečteme – vznikne jedna rovnice s jednou neznámou y. Obdobně postupujeme i při vyloučení neznámé y.

Sčítací metoda 3x – 2y = 11 4x + y = 22 / . 2 3x – 2y = 11 obě rovnice sečteme 8x + 2y = 44 11x = 55 x = 5

Sčítací metoda 3x – 2y = 11 / . (-4) 4x + y = 22 / . 3 -12x + 8y = -44 obě rovnice sečteme 12x + 3y = 66 11y = 22 y = 2

Sčítací metoda Součástí řešení je zkouška: L1 = 3x – 2y = 3 . 5 – 2 . 2 = 15 – 4 = 11 P1 = 11 L2 = 4x + y = 4 . 5 + 2 = 20 + 2 = 22 P2 = 22 L1 = P1 L2 = P2

Kombinovaná metoda Hodnotu jedné neznámé získáme pomocí sčítací metody, hodnotu druhé neznámé dosazovací metodou. (nebo opačným postupem) 4m + 7n = 5 -2m + 5n = 6 / . 2 4m + 7n = 5 obě rovnice sečteme -4m + 10n = 12 17n = 17 /:17 n = 1 4m + 7.1 = 5 4m = 5 – 7 m = - 0,5 4m + 7 = 5 / -7 4m = -2 / : 4

Kombinovaná metoda Zkouška: L1 = 4m + 7n = 4.(-0,5) + 7.1 = -2 + 7 = 5 P1 = 5 L2 = -2m + 5n = -2.(-0,5) + 5.1 = 1 + 5 = 6 P2 = 6 L1 = P1 L2 = P2

Příklady na procvičení: x + 2y = -1 7x – 20y = 146 7c + 6d = 2 6c – 5d = 93 x + 6y = 0 2x – 9y = -7

Citace: Vlastní text autora