Inverzní funkce CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Hradecká 1151, 500 03 Hradec Králové Inverzní funkce Hradec Králové 2.10.2012

Tento učební materiál vznikl za podpory OPVK 1.5 Název školy CZECH SALES ACADEMY Hradec Králové – VOŠ a SOŠ s.r.o. Číslo projektu CZ 1.07/1.5.00/34.0314 Název projektu Moderní škola Číslo DUM CSA_OPVK15_104 Předmět Matematika Tematický celek Funkce Název materiálu Inverzní funkce Autor Mgr. Dominika Vítová Datum ověření, třída 2. 10. 2012, 2A Časová dotace 45 min. Pomůcky Projektor, fix na tabuli, počítač Vzdělávací cíl Student dokáže rozlišit, kdy existuje a neexistuje inverzní funkce k dané funkci a dokáže odvodit její zápis z daného funkčního předpisu.

Definice (1) Mějme funkci f s definičním oborem D(f) a oborem hodnot H(f). Z definice funkce víme, že pro všechny prvky x z D(f) existuje y z oboru hodnot H(f), pro který platí y = f(x). Inverzní funkce f−1 je pak funkce, pro kterou platí: f(x) = y právě tehdy, když f−1(y) = x

Definice (2) Nechť f je prostá funkce, f−1 funkce k ní inverzní. Pak platí: D(f−1) = H(f) H(f−1) = D(f) Nechť f je rostoucí (klesající) funkce. Pak funkce f−1 inverzní k funkci f je též rostoucí (klesající). Grafy funkcí f a f−1 jsou souměrně sdruženy podle přímky o rovnici x = y.

Existence inverzní funkce Inverzní funkce existuje pouze k funkcím, které jsou prosté (př. lineární funkce, logaritmické funkce, exponenciální funkce) Ze zadání funkce nejprve určíme, zda se jedná o prostou funkci či nikoliv Pokud funkce není prostá, dále inverzní funkci neřešíme, protože neexistuje

Výpočet inverzní funkce Zadaná funkce je PROSTÁ Ze zadané funkce postupnými úpravami osamostatníme x Příklad: f(x) = 2x přepíšeme na y = 2x A upravíme na f−1 (x) = … inverzní funkce k funkci f(x) = 2x

Graf

Příklad - zadání Vypočtěte inverzní funkci k zadané funkci a proveďte zkoušku f(x) = 4x – 7

Příklad f(x) = 4x – 7 Zkouška:

A co kvadratická funkce? Kvadratická funkce není prostá, tudíž inverzní funkce pro D(f) = R neexistuje ALE Pokud bychom D(f) omezili na určitý interval, na kterém platí pro kvadratickou funkci definice prosté funkce, můžeme určit také inverzní funkci pro tento omezený D(f)

Příklad

Použité zdroje KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 80-868-7303-X. Inverzní funkce. Matematika polopatě [online]. 2006—2013 [cit. 2012-07-12]. Dostupné z: http://www.matweb.cz/funkce