Vzdělávání pro konkurenceschopnost Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název a adresa školy: Integrovaná střední škola Cheb, Obrněné brigády 6, 350 11 Cheb Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0290 Číslo a název klíčové aktivity: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo DUM: VY_32_INOVACE_02Eff_5 Název DŮM: 5 Kombinatorika III. - Kombinace, binomická věta Jméno autora: Mgr. Věra Effenberger Ročník: 3. a 4. ročník Vzdělávací oblast: matematika - kombinatorika Vzdělávací obor: studijní Klíčová slova: kombinační číslo, kombinace, Pascalův trojúhelník, binom. věta Anotace: materiál definuje a procvičuje kombinace a použití binom. věty Druh učebního materiálu: prezentace Očekávaný výstup: výpočet hodnoty kombinačních čísel, rozeznání kombinace a výpočet příkladů, aplikace binomické věty Metodika učebního materiálu: Jedná se o prezentaci, která se se slovním doprovodem přehraje krok za krokem žákům. K prezentaci patří též pracovní list 6 Kombinace, kombinační čísla, binomická věta, jehož součástí jsou příklady v prezentaci a další příklady na procvičení látky.

Kombinace Kombinační čísla Binomická věta, Pascalův trojúhelník KOMBINATORIKA III. Kombinace Kombinační čísla Binomická věta, Pascalův trojúhelník

Kombinace Definice: k-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou. [1] k-členná kombinace z n prvků je k-prvková podmnožina množiny těmito n prvky určená.

Kombinace Definice: Počet všech k-členných kombinací z n prvků je:

Kombinační čísla Pro všechna celá nezáporná čísla je kombinační číslo „n nad k“ rovno: Tedy:

Kombinační čísla Vlastnosti:

Kombinace Příklad: Trenér hokejového mužstva má vybrat čtyři své hráče na reprezentační turnaj. Určete počet všech možných výběrů, jestliže má k dispozici 17 hráčů.

Kombinace Příklad - řešení: Protože nezáleží na pořadí, ve kterém trenér hráče vybere, ani na jejich funkci, jedná se o neuspořádané čtveřice, tedy o kombinace čtvrté třídy ze 17 prvků. Výpočet: Trenér má 2 380 možností pro výběr čtveřice hráčů.

Binomická věta Pro všechna čísla a, b a každé přirozené číslo n je: Příklad:

Binomická věta Binomický rozvoj: Příklad: k-tý člen binomického rozvoje výrazu je: Příklad: Určete 4. člen výrazu

Pascalův trojúhelník

Zdroje: [1] CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha, Prometheus 1993, ISBN 80-85849-10-0