Trigonometrie (1) (19)
Projekt: CZ.1.07/1.5.00/34.0745 OAJL - inovace výuky Příjemce: Obchodní akademie, odborná škola a praktická škola pro tělesně postižené, Janské Lázně, Obchodní 282 Tento projekt je financován Evropskou unií – Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Autor: Richard Fiedler Předmět: Matematika
Obsah 1 Definice trigonometrie 2 Využití trigonometrie 3 Sinová věta a kosinová věta 4 Sinová věta (1) 5 Sinová věta (2) 6 Kosinová věta (1) 7 Kosinová věta (2) 8 Další trigonometrické věty (1) 9 Další trigonometrické věty (2) 10 Další trigonometrické věty (3)
Definice trigonometrie 1 Trigonometrie z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein = měřit je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.
Využití trigonometrie 2 Trigonometrie má základní význam při triangulaci, která se používá v astronomii k měření vzdáleností mezi dvěma hvězdami, v geodézii k měření vzdálenosti dvou bodů a v satelitních navigačních systémech při určování polohy.
Sinová věta a kosinová věta 3 Základní dva nástroje trigonometrie jsou 1) sinová věta a 2) kosinová věta. Pomocí nich lze vyřešit jakýkoliv obecný trojúhelník.
Sinová věta (1) 4 𝐚 𝐬𝐢𝐧 𝛂 = 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝛃 = 𝐜 𝐬𝐢𝐧 𝛄
Sinová věta (2) Předchozí rovnost lze přepsat do tvaru: 5 Předchozí rovnost lze přepsat do tvaru: 𝐚 𝐛 = 𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝐬𝐢𝐧 𝛃 𝐛 𝐜 = 𝐬𝐢𝐧 𝛃 𝐬𝐢𝐧 𝛄 𝐜 𝐚 = 𝐬𝐢𝐧 𝛄 𝐬𝐢𝐧 𝛂
Kosinová věta (1) 6 Stejně jako věta sinová také věta kosinová platí v obecném trojúhelníku a je vyjádřena těmito rovnostmi: 𝐚𝟐=𝐛𝟐+𝐜𝟐−𝟐𝐛𝐜·𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐛𝟐=𝐚𝟐+𝐜𝟐−𝟐𝐚𝐜·𝐜𝐨𝐬 𝜷 𝐜𝟐=𝐚𝟐+𝐛𝟐−𝟐𝐚𝐛·𝐜𝐨𝐬 𝜸
Kosinová věta (2) 7 Pro pravoúhlý trojúhelník se kosinová věta zjednoduší na větu Pythagorovu 𝐜𝐨𝐬 𝜸=𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎°=𝟎 𝐜𝟐=𝐚𝟐+𝐛𝟐−𝟐𝐚𝐛·𝐜𝐨𝐬 𝜸
Další trigonometrické věty (1) 8 𝐫= 𝐚 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝛂 = 𝐛 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝛃 = 𝐜 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝛄 kde r je poloměr kružnice opsané r
Další trigonometrické věty (2) 9 Kromě známých platných základních vzorců pro výpočet obsahu obecného trojúhelníka platí též: 𝐒= 𝐚𝐛 𝟐 ·𝐬𝐢𝐧 𝜸= 𝐚𝐜 𝟐 ·𝐬𝐢𝐧 𝜷= 𝐛𝐜 𝟐 ·𝐬𝐢𝐧 𝛂
Další trigonometrické věty (3) 10 Kromě věty sinové a kosinové existuje též věta tangentová: 𝐜−𝐚 𝐜+𝐚 = 𝐭𝐠 𝜸−𝜶 𝟐 𝐭𝐠 𝜸+𝜶 𝟐 𝐛−𝐜 𝐛+𝐜 = 𝐭𝐠 𝜷−𝜸 𝟐 𝐭𝐠 𝜷+𝜸 𝟐 𝐚−𝐛 𝐚+𝐛 = 𝐭𝐠 𝜶 −𝜷 𝟐 𝐭𝐠 𝜶 +𝜷 𝟐
Použité zdroje http://www.matweb.cz/sinova-cosinova#gsc.tab=0