KMT/MCH2 – Mechanika pro učitele 2 1. přednáška, 23. 2. 2017 Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Inerciální a neinerciální vztažné soustavy Galileův princip relativity Setrvačné síly

Inerciální a neinerciální vztažné soustavy Podle 2. NPZ souvisí zrychlení bezprostředně se silou (platí F = m*a). Pokud se tudíž nějaká soustava pohybuje zrychleně, automaticky v ní působí síla, která je vyvolána pouze tímto zrychlením (nikoliv tedy přímým silovým působením jiného tělesa či fyzikálního pole, ale pouze vlastností soustavy!!) Takovým silám vyvolaným vlastností soustavy říkáme setrvačné (zdánlivé) síly a soustavám, v nichž tyto setrvačné síly působí, poté soustavy neinerciální. Naopak soustavy, u nichž se setrvačné síly neobjevují (protože se nepohybují zrychleně), poté říkáme soustavy inerciální. Pouze v těchto soustavách bez setrvačných sil platí Newtonovy zákony!! Vypadá to celkem jednoduše, ale…

Inerciální a neinerciální vztažné soustavy 2 Zádrhel je v tom, že pohyb je vždy relativní a pokud mluvíme o zrychleném pohybu nějaké soustavy, musíme říct, vůči jaké jiné soustavě tento pohyb bereme!! Třeba soustava spojená s automobilem jedoucím rovnoměrně po rovné silnici je vůči soustavě spojené se Zemí inerciální (žádné zrychlení), ale vůči soustavě spojené se Sluncem je již neinerciální (protože vůči ní se pohybuje přibližně po kružnici → objevuje se normálové zrychlení). Závěr: Žádná 100 % inerciální soustava neexistuje (protože to byl musel existovat absolutní pohyb a ten není). Pro určité konkrétní aplikace je však možné určitou významnou soustavu (jednoznačně nejčastěji soustavu spojenou se Zemí) pokládat za inerciální a (ne)inercialitu ostatních soustav posuzovat vůči ní!

Inerciální a neinerciální vztažné soustavy 3 Co tedy je a co není inerciální soustava?? Vůči soustavě spojené se Zemí je inerciální třeba: soustava spojená s touto učebnou (je v klidu), soustava spojená s rovnoměrně jedoucím autem (je v rovnoměrném přímočarém pohybu) či soustava spojená s rovnoměrně letícím letadlem Neinerciální je naopak vůči této soustavě soustava spojená se zrychlujícím autem, soustava spojená s rozjíždějícím se výtahem či soustava spojená s otáčejícím se řetízkovým kolotočem Při některých úvahách však musíme i soustavu spojenou se Zemí díky rotaci Země pokládat za neinerciální (např. zdůvodnění tzv. Coriolisovy síly –viz dále)

Galileův princip relativity Všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné, zákony mechaniky v nich mají stejný tvar. Důsledek: Žádným mechanickým pokusem nelze rozlišit, zda je vagon v klidu či se pohybuje rovnoměrně přímočaře, všechny experimenty budou vycházet naprosto stejně! Galileův princip relativity (a s ním související Galileiho transformace) připouští neomezený růst rychlosti, jsou tedy ve sporu s teorií relativity → nutno nahradit Einsteinovým principem relativity (jemu odpovídají tzv. Lorentzovy transformace), jenž je jedním ze dvou základních principů speciální teorie relativity (druhým je tvrzení, že rychlost světla je ve vakuu ve všech soustavách stejná…)

? Gal. princip - cvičení a) nikdy b) 0,05 s c) 0,1 s d) 0,2 s Střelec vypálí v supervlaku jedoucím stálou rychlostí 300 m/s na cíl nacházející se také ve vlaku a vzdálený 30 m z pistole mající úsťovou rychlost také 300 m/s. Za jak dlouho po výstřelu cíl zasáhne? a) nikdy b) 0,05 s c) 0,1 s d) 0,2 s ? ŘEŠENÍ: c) je správně, díky stálé rychlosti jde o inerciální soustavu, platí Galileův princip relativity, tudíž je výsledek stejný, jako kdyby byl vlak v klidu.

Setrvačné síly V neinerciálních soustavách existují zdánlivé setrvačné síly, které jsou dány pouze vlastností soustavy, nikoliv přímým silovým působením. To však nemění nic na tom, že tyto síly mohou mít na člověka zásadní vliv a je třeba s nimi počítat. Rozlišujeme setrvačné síly v přímočaře zrychleně se pohybujících soustavách a v rotujících soustavách. a) Setrvačná síla - přímočarý zrychlený pohyb Působí vždy proti směru vektoru zrychlení, její velikost je dána vztahem F = m*a (2.NPZ, a je zrychlení dané neinerciální soustavy vůči uvažované soustavě inerciální). Tato síla způsobuje, že při brzdění auta se pohybujeme směrem dopředu, při rozjíždění naopak směrem dozadu!

Setrvačné síly 2 Příklad – nahoru se rozjíždějící výtah Na těleso působí setrvačná síla v opačném směru, než je zrychlení výtahu. Výsledná síla: F = FG + FS = m*a + m*g Pokud si v takovém rozjíždějícím se výtahu stoupneme na váhu, ukáže nám vyšší hodnotu (protože měří sílu, kterou na ni tlačíme a ta se díky setrvačné síle zvětšila…)

Setrvačné síly 3 b) Setrvačné síly - otáčející se vztažné soustavy V otáčejících se vztažných soustavách se objevují hned tři další setrvačné síly: Setrvačná odstředivá síla Coriolisova síla Eulerova síla Lze odvodit, viz http://physics.mff.cuni.cz/kfpp/skripta/kurz_fyziky_pro_DS/display.php/mechanika/2_4 Ad i) Z minulého semestru víme, že při pohybu po kružnici máme normálové zrychlení an = v2/r = ω2*r. Jemu odpovídá v souladu s 2. NPZ odstředivá síla, jejíž velikost je Fo = m*an = m*v2/r = m*ω2*r. (nekoná práci, je kolmá na rychlost!)

Odstředivá síla x dostředivá síla Musíme rozlišovat: dostředivá síla (v inerc. soustavách, dána např. vektor. součtem síly tíhové a tahové síly vlákna) odstředivá síla (také v iner. soustavách, reakce k dostředivé) odstředivá setrvačná síla (v neinerc. Soustavách, zádnlivá síla) Podrobněji na https://cs.wikipedia.org/wiki/Odst%C5%99ediv%C3%A1_s%C3%ADla Úkol: Co je odstředivou silou u daného obrázku

Setrvačné síly 4 Tato odstředivá setrvačná síla působí vždy směrem od osy otáčení, uplatňuje se například při průjezdu auta zatáčkou či při otáčení se na centrifuze, kdy kompenzuje tíhovou sílu. Příklad: Jakou minimální úhlovou rychlostí se musí otáčet centrifuga o poloměru r = 10 m, aby z ní cestující v nejvyšším bodě trajektorie nevypadli? Řešení: Setrvačná odstředivá síla Fo musí být alespoň stejně velká jako sílová tíhová FG (jejich směr je opačný). Platí: Fo=FG → m*ω2*r = m*g → ω2=g/r → ω =√g/r = √10/10 = 1 rad*s-1. Frekvence rotace musí být tedy alespoň f = ω/2π = 1/2π Hz, perioda poté T= 1/f = 2π s = 6,28 s. Fo FG r Fo ≥ FG

Setrvačné síly 5 ii) Coriolisova síla (nekoná práci, je kolmá na rychlost!) F = 2*m*[v × ω], pro velikost F = 2*m*v*ω*sin φ, kde φ je úhel mezi ω a v. Uplatňuje se tedy v otáčejících se systémech u těles pohybujících se tak, že úhel mezi vektorem jejich rychlosti a vektorem úhlové rychlosti rotace soustavy je nenulový Díky vertikální složce Coriolisovy síly jsou tělesa pohybující se na východ odchylovány směrem nahoru, směrem na západ odchylovány směrem dolů (velikost síly je však poměrně malá) ω v φ

Setrvačné síly 6 Důsledky Coriolisovy síly: Význam pro rychlé pohyby hmotných těles (balistické rakety, letadla) nebo pro dlouho trvající pohyby (oceánské vzdušné proudy, pasáty – význam v meteorologii). Síla způsobuje výraznější vymílání pravých břehů řek tekoucích na severní polokouli z jihu na sever (sibiřské veletoky Ob, Jenisej, Lena), na jižní polokouli obráceně! iii) Eulerova síla – uplatní se pouze u zrychleného otáčivého pohybu soustavy, pokud je úhlové zrychlení konstantní, vymizí (F = -m*ε ×r). Není příliš významná v praxi. ω v φ

Coriolisova síla - problém Představme si baobab, který roste na rovníku, na jeho nejvyšší větvi ve výšce h je baobabí jablko. Jablko se rozhodne, že spadne. Spočtěte, jak daleko od kmene dopadne. Úkol: Prostudujte výpočet a spočítejte stejný výsledek přímo použitím vztahu pro Coriolisovu sílu!