Hyperbola Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

Hyperbola jako kuželosečka Hyperbolu jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny svírající s osou kuželové plochy úhel menší, než je úhel mezi osou a stěnou kužele. β α

Hyperbola jako množina bodů Hyperbolu lze definovat i jako množinu bodů v rovině: Hyperbola je množina všech bodů, které mají od daných dvou bodů (ohnisek) stejný rozdíl vzdáleností (v absolutní hodnotě). Pro libovolný bod X na hyperbole tedy platí ||EX| – |FX|| = k, kde k je libovolné kladné reálné číslo. X E S F x

Hyperbola s hlavní osou || s x S – střed hyperboly S p1 p2 p1, p2 – asymptoty A B A, B – vrcholy hyperboly E F E, F – ohniska hyperboly a a=|SA|=|SB| – hlavní poloosa hyperboly M b b=|BM| – vedlejší poloosa e e=|SF|=|SM|=|SE| – excentricita Pro délky poloos a excentricitu platí Pythagorova věta (viz obrázek): e 2 = a 2 + b 2 Přes definici hyperboly jako množiny bodů je možné odvodit středovou rovnici hyperboly se středem v počátku:

Hyperbola s hlavní osou || s y S – střed hyperboly p1 p2 p1, p2 – asymptoty A B A, B – vrcholy hyperboly E F E, F – ohniska hyperboly b b = |SA| = |SB| – hlavní poloosa M a a = |AM| – vedlejší poloosa hyperboly e e = |SE| = |SF|= |SM| – excentricita Pro délky poloos a excentricitu platí Pythagorova věta (viz obrázek): e 2 = a 2 + b 2 Přes definici hyperboly jako množiny bodů je možné odvodit středovou rovnici hyperboly se středem v počátku:

Rovnice hyperboly Pokud je střed hyperboly S[m;n] mimo počátek souřadnic, středová rovnice hyperboly je ve tvaru resp. Roznásobením a odstraněním zlomků vznikne obecná rovnice: Ze středového tvaru je patrné, že znaménka u členů x2 a y2 jsou opačná, platí tedy nerovnost A·B < 0. Asymptoty mají směrnici , jejich rovnice je tedy , člen q se spočítá dosazením středu hyperboly.

Převod obecné rovnice na středovou Při odvozování obecné rovnice postupujeme obdobně jako u ostatních kuželoseček. Příklad: Převeďte do středového tvaru obecnou rovnici hyperboly 4x2 – 9y2 – 8x + 36y – 68 = 0. Přerovnáme členy dle neznámých a vytkneme koeficient A, resp. B: 4(x2 – 2x) – 9(y2 – 4y) = 68 Výrazy v závorkách doplníme na čtverec (viz vzorec (A + B)2 = A2 + 2AB + B2), nezapomeneme stejné hodnoty přidat i na pravou stranu rovnice: Střed hyperboly je tedy S[1;2], poloosy jsou a = 3 a b = 2.

Vzájemná poloha přímky a hyperboly Přímka může ležet mimo hyperbolu (přímka p1), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna. p1 T[x0;y0] p4 Pokud se přímka hyperboly dotýká (přímka p4), má s ní jeden společný bod. Takové přímce se říká tečna. Rovnice tečny, která se hyperboly dotýká v bodě T[x0;y0], je: p2 Pokud přímka hyperbolu protíná ve dvou společných bodech (přímka p3) nazývá se sečna. p3 Pokud je přímka rovnoběžná s asymptotou hyperboly, protíná ji v jednom bodě (přímka p3) a nazývá se asymptotická sečna. S

Parametrické vyjádření hyperboly Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i hyperbola: x = a / cos t + m y = b · tg t + n kde t je parametr, který může nabývat hodnot z intervalu <0;2π) kromě hodnot.