Aritmetická posloupnost Kristýna Zemková, Václav Zemek

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU
Advertisements

Algebraické výrazy: lomené výrazy
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
ARITMETICKÁ POSLOUPNOST
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_108.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace.
Posloupnosti – základní pojmy Střední odborná škola Otrokovice Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.
Geometrická posloupnost (1.část)
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_115.
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_110.
Geometrická posloupnost (2.část)
VY_32_INOVACE_22-01 Posloupnosti.
Aritmetická posloupnost – základní pojmy
POSLOUPNOST Mgr.Zdeňka Hudcová TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rovnice s parametrem. Vypočítejte rozměry obdélníku, pro který platí: Délku zmenšíme o 5 m a šířku zvětšíme o 10 m, a tím se obsah zvětší o 300 m 2. a)
PROVĚRKY Převody jednotek času.
Aritmetická posloupnost
Rozklad čísel 6 – 10 – doplňování varianta A
Matematický žebřík – posloupnosti a řady Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno.
Lineární funkce VY_32_INOVACE_056_Lineární funkce
Dělení lomených výrazů
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým.
Aritmetická posloupnost Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Václav Zemek. Dostupné z Metodického portálu ISSN:
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného.
Kruh, kružnice Základní pojmy
Kruh, kružnice Základní pojmy
Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem.
Vzájemná poloha paraboly a přímky
Neznámý útvar ukrytý v mezikruží
MNO ŽI NY Kristýna Zemková, Václav Zemek
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
Geometrická posloupnost
Části kruhu Matematika 8 – I.díl
VENNOVY DIAGRAMY Kristýna Zemková, Václav Zemek
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Kamila Kočová. Dostupné z Metodického portálu ISSN: 1802–4785,
VENNOVY DIAGRAMY Kristýna Zemková, Václav Zemek
MNO ŽI NY Kristýna Zemková, Václav Zemek
Vzájemná poloha dvou kružnic
Aritmetická posloupnost Kristýna Zemková, Václav Zemek
LOGARITMICKÉ ROVNICE Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  ,
Aritmetická posloupnost - součet
Konstrukce pravoúhlého trojúhelníku pomocí Thaletovy kružnice,
Vzájemná poloha paraboly a přímky
PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ
Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
MNOŽINY Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného.
KOLEKCE ÚLOH PRO MATEMATICKÝ SEMINÁŘ trojúhelník z těžnic
Rozklad mnohočlenů na součin
Převody jednotek délky - 2.část
Rozklad čísel od 1 do 10 Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným.
ZLOMKY pracovní listy Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Dušan Goš. Dostupné z Metodického portálu ISSN: ,
Vzájemná poloha dvou kružnic
Transkript prezentace:

Aritmetická posloupnost Kristýna Zemková, Václav Zemek Gymnázium Prachatice, Zlatá stezka 137 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Václav Zemek. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Co je to posloupnost? Posloupností nazýváme funkci, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel (u nekonečné posloupnosti) nebo její podmnožina ({1; 2; 3; …; k}, k je přirozené číslo, u konečné posloupnosti).

Zápis posloupnosti Výčtem členů Vzorcem pro n-tý člen Rekurentně nebo , nebo , Pozor! U rekurentního určení musí být zadána hodnota alespoň jednoho členu!

Příklad: Radek si kreslil do sešitu soustředné kružnice. První měla poloměr 1 cm, poloměr každé další kružnice byl o 2 cm větší. Určete poloměr páté kružnice, kterou Radek takto narýsoval. Řešení

První kružnice má dle zadání poloměr 1 cm. Poloměr druhé kružnice je 1 + 2 = 3 cm. Třetí 3 + 2 = 5 cm. Čtvrté 5 + 2 = 7 cm. Páté 7 + 2 = 9 cm. Zadání

Zkuste zapsat poloměr rn+1 (n+1) kružnice z předchozího příkladu pomocí poloměru n-té kružnice. Tímto jsme získali rekurentní zápis aritmetické posloupnosti.

Aritmetická posloupnost Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro každé celé kladné číslo n platí: Číslo d se nazývá diference. Jak vypočítáme diferenci? Diference je rovna rozdílu dvou po sobě jdoucích členů. Je konstantní, nezávislá na n.

Příklad: U každé ze zadaných posloupností určete, zda jde o aritmetickou posloupnost a pokud ano, tuto posloupnost zapište rekurentně. Řešení Řešení Řešení Řešení

Příklad: Radek si kreslil do sešitu soustředné kružnice. První měla poloměr 1 cm, poloměr každé další kružnice byl o 2 cm větší. Určete poloměr n-té kružnice pomocí poloměru první kružnice a rozdílu poloměrů sousedních kružnic. Řešení

Poloměr první kružnice r1= 1 cm. Poloměr dvou sousedních kružnic se liší o 2 cm. Poloměr n-té kružnice tedy vypočítáme tak, že k poloměru první kružnice (n-1) krát přičteme dvojku: Získali jsme tak zápis aritmetické posloupnosti vzorcem pro n-tý člen! Zadání

Zápis vzorcem pro n-tý člen Zobecněním zápisu z předchozího příkladu dostaneme:

Odvození vzorce pro n-tý člen Z definice posloupnosti víme, že Zapíšeme (n-1) rovností: Tyto rovnosti sečteme a upravíme:

Důkaz matematickou indukcí Dokážeme, že platí pro n = 1 Zvolme libovolné přirozené číslo k a předpokládejme, že výraz pro něj platí: Dokažme, že potom platí také pro každé další k, když z definice víme, že ak+1=ak+d Tímto je důkaz hotov.

Příklad: Určete v pořadí sté liché číslo dělitelné třemi. Postup Řešení

Jaké je nejmenší liché přirozené číslo dělitelné třemi? Jaký je rozdíl mezi dvěma sousedními lichými čísly dělitelnými třemi? Zapište vzorec pro n-té číslo: Sté liché číslo dělitelné třemi: Zadání

Příklad: Výsledek Určete součet s11 prvních 11 lichých čísel. Zadání zapíšeme jako posloupnost: Vypíšeme si prvních 11 lichých čísel a pod ně znovu, tentokrát v obráceném pořadí: Sečteme:

Víme, že: Součet s11 pak můžeme obecně zapsat: Po dosazení získáme:

Součet prvních n členů V předchozím příkladu jsme se dostali ke vztahu: Dokázali byste jej zobecnit? Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí:

Odvození Zapíšeme součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti. Pod něj tento součet napíšeme ještě jednou, ale v obráceném pořadí: Sečteme a upravíme:

Důkaz matematickou indukcí Dokážeme, že platí pro n = 1 Zvolme libovolné přirozené číslo k a předpokládejme, že výraz pro něj platí: Dokažme, že potom platí také pro každé další k, když víme, že ak+1=a1+kd ,

Příklad: Vypočítejte součet všech kladných dvouciferných čísel dělitelných třemi. Postup Řešení

Nejmenší dvouciferné číslo dělitelné třemi: Vzorec pro n-tý člen: Nejvyšší dvouciferný člen: Výsledný součet: Zadání

Shrnutí Aritmetická posloupnost je rekurentně určena: n-tý člen je dán vztahem: Pro součet prvních n členů platí:

Literatura ODVÁRKO, O., BOŽEK, M., RYŠÁNKOVÁ, M., SMIDA, J. Matematika pro II. Ročník gymnázií. 1. vydání. Praha : SPN, 1985. ISBN 14-499-85. SMIDA, J., BOŽEK, M., ODVÁRKO, O. Sbírka úloh z matematiky pro II. Ročník gymnázií. 1. vydání. Praha : SPN, 1986. ISBN 14-629-86. ŘÍDKÁ, E., BLAHUNKOVÁ, D., CHÁRA, P. Maturitní otázky – Matematika. 1. vydání. Praha : Fragment, 2007. ISBN 978-80-253-0497-6. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Václav Zemek. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.