Laplaceova transformace Automatizace Laplaceova transformace VY_32_INOVACE_A_08 Střední škola EDUCHEM, a.s., Okružní 128, 435 13 Meziboří Název projektu: Podpora výuky Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.1040 Autor: Ing. Tomáš Kraj

Anotace: Popisuje řešení a popis regulačního obvodu pomocí Laplaceovy transformace.

Použitá literatura: [1] Švarc,I., Šeda,M.,Vítečková,M.:AUTOMATICKÉ ŘÍZENÍ. AKADEMICKÉ NAKLADATELSTVÍ CERM, 2007, ISBN 978-80-214-3491-2, 324 s [2] Balátě, J.: Automatické řízení. . Praha BEN-technická literatura, 2003,663s. [3] Bílek, J., Bayer, J.:Základy automatizace.SNT-L Nakladatelství technické literatury, 1990, 169 s [4] Tůma, J.,Wagnerová, R.,Farana.R.: Základy automatizace-učební text. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, 2007,288s. [5] Šulc,B, Vítečková,M.: Teorie a praxe návrhu regulačních obvodů. Vydavatelství ČVUT, 2004,333s.

Laplaceova transformace Obecné schéma řešení problémů pomocí transformace: ORIGINÁL PROBLÉMU OBRAZ PROBLÉMU PŘÍMÁ TRANSFORMACE NESNADNÉ ŘEŠENÍ SNADNÉ ŘEŠENÍ ORIGINÁL VÝSLEDKU OBRAZ VÝSLEDKU ZPĚTNÁ TRANSFORMACE PROSTOR ORIGINÁLŮ PROSTOR OBRAZŮ

Laplaceova transformace Představuje velmi účinný nástroj při popisu, analýze a syntéze spojitých lineárních systémů řízení. Účelem transformace je převést složitý problém z časové oblasti - prostoru originálů do prostoru obrazů, kde se tento transformovaný problém vyřeší snadněji. Výsledek řešení v prostoru obrazů se pak převede do prostoru originálů. Prostor originálů je časová oblast a prostor obrazů je oblast komplexní proměnné. Diferenciální rovnice se Laplaceovou transformací transformují na rovnice algebraické, které se řeší jednodušeji.

Laplaceova transformace Definiční vztahy: Přímá transformace Zpětná transformace s – operátor L – transformace X(s) – obraz funkce (komplexní funkce definována v oblasti komplexní proměnné s) x (t) – originál funkce (reálná funkce definována pro t > 0) L – operátor přímé Laplaceovy transformace L-1 – operátor zpětné Laplaceovy transformace c – reálná konstanta zvolená tak, aby v polorovině Re s > c neměla funkce X (s) žádné singulární body

Laplaceova transformace Věta o linearitě LT Obraz součtu funkcí se rovná součtu jejich dílčích obrazů. y=y1 + y2 - 4y3   L{y}=L{y1} + L{y2} - 4L{y3} Násobící koeficienty zůstávají zachovány. Platí pro přímou i zpětnou LT.

Laplaceova transformace Obraz derivace: Obecný vztah pro výpočet obrazu n – té derivace: Počáteční podmínky Vztah pro výpočet obrazu nulté derivace:

Laplaceova transformace Výpočet diferenciální rovnice: Obecný tvar DR 2. řádu: y – výstupní veličina u – vstupní veličina Tvar DR 2. řádu, popisující proporcionální člen : L transformace:

Popis členů regulačního obvodu Laplaceova transformace Popis členů regulačního obvodu Přenosy získané z řešení diferenciální rovnice: Přenos systému v LT: Normalizovaný tvar přenosu:

Přenosy v regulačním obvodu: Laplaceova transformace Regulační obvod Přenosy v regulačním obvodu: přenos řízení přenos regulační odchylky přenos regulované soustavy R RS y w u e v