Fraktální dimenze Definice fraktální (vnitřní) dimenze a její aplikace v databázích AJ

Obsah Topologická dimenze Hausdorffova dimenze Fraktální dimenze (FD) Výpočet FD v O(n) Aplikace při selekci atributů Výpočet FD pomocí box-counting Aplikace při detekci očí v obrázku

Topologická dimenze (TD) Geometricky hladké objekty Počet parametrů popisujících objekt ◦Pevně definovaným vztahem lze popsat libovolný bod objektu Celočíselná TD nezávisí na dimenzi prostoru, kde je daný objekt umístěn Vlastnosti tělesa nezávislé na měřítku

Příklady TD Přímka ◦y = y 0 + kt  TD = 1 Funkce ◦x = sin(t)*log(t) ◦y = cos 2 (t) ◦z = t  TD = 1 Libovolná hladká plocha ◦Kruh, trojúhelník, n-úhelník ◦TD = 2

Hausdorffova (fraktální) dimenze (FD) Neceločíselná Udává úroveň členitosti objektu Délka břehu ostrova ◦Zmenšování měřítka => růst délky ◦Zabírá více místa než hladká křivka ◦Větší než topologická

Měření FD (1) Úsečka ◦Úsečku rozdělíme na N dílů  Měřítko: s = 1/N  Pro FD platí: Ns D = 1 ◦ Ns D = 1 ◦ logNs D = log 1 ◦ logN + logs D = 0 ◦ Dlogs = - logN ◦ D = (-lognN)/logs ◦ D = logN/log(1/s)  D = logN/log(1/s) = lognN/logN = 1

Měření FD (2) Čtverec ◦s = 1/N 2 ◦D = logN/log(1/s) = logN/log(N 2 ) = 1/(1/2) = 2

Měření FD (3) Kochova křivka 5 iterací křivky

Měření FD (3) Kochova křivka ◦3 x zjemnění => 4 x délka ◦s = 1/3 => N = 4 ◦D = logN/log(1/s) = log4/log3 =

“Vnořená” a “Vnitřní” Dimenze “Embedding” (vnořená) dimenze (ED) datasetu je dimenze jeho adresového prostoru. ◦Počet atributů datasetu “Intrinsic” (vnitřní) dimenze (ID) je dimenze prostorového objektu reprezentovaného datasetem, nezávisle na prostoru, do kterého je vnořen.

Vlastnosti ID a ED Vzájemně nezávislé atributy => ED == ID Polynomiální korelace snižuje ID o jednotku Ostatní korelace můžou jinak (i o zlomek) Obvykle ID z dat není zřejmá ID určuje počet atributů potřebných k charakterizaci datasetu

Zobecněná Hausdorffova fraktální dimenze (1) Rozdělme E-dimenzionální prostor do hyperkrychlí o hraně r. Budiž N(r) počet buněk obsahující alespoň 1 bod. Potom fraktální dimenze D 0 je definována jako: Vhodné z matematického hlediska (nekonečný počet bodů)

Hausdorffova fraktální dimenze pro konečné množiny Datasety nemají nekonečně mnoho bodů => definujeme pouze pro jistý úsek Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z (r1,r2) je Hausdorffova dimenze D 0 pro tento rozsah:

Zobecněná Hausdorffova dimenze pro konečné množiny Existence zobecněné definice ◦existuje nekonečně mnoho definic ◦Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z (r1,r2) je zobecněná Hausdorffova dimenze D q definována:

Korelační fraktální dimenze ( vnitřní dimenze) r – velikost pole C r,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r

FD při selekci atributů Datová sada o N atributech Ne všechny stejně důležité Detekce existence závislosti Odstranění závislých atributů

FD pro selekci - koncept Zjištění “fraktální dimenze” datasetu Zjištění atributů, které FD málo ovlivňují Odstranění atributů

FD pro selekci - koncept Obvykle data v tabulce ◦Sloupce == vlastnosti ◦Řádky == body ◦Tabulka== body v E-dimenzioním prostoru, kde |E| = |sloupce| Obvykle atributy vyjadřují číselné hodnoty ◦=> těžko vyjádřitelný primární klíč ◦=> indexování podle celé množiny atributů  => “prokletí dimenzionality”

Fractal Dimension Algorithm (1) Počítá v čase O(N*E*R) E-dimenzionální prostor Mřížka s buňkami o velikosti r C r,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r S(r) = suma(C r,i 2 ) Získání fraktální dimenze ◦Spočítat S(r) s různými hodnotami r a spočítat směrnici výsledné přímky ◦Vytvořena multiúrovňová struktura pro počítání S(r) , kde p je ukazatel do další úrovně pro danou buňku  Kazdá úroveň obsahuje S(r) pro hodnotu r=r/2 z předchozí úrovně  Struktura je vytvářena v hlavní paměti => omezení její velikosti

Fractal Dimension Algorithm (2) Množina 5-ti bodů v 2D

Fractal Dimension Algorithm (3)

Algorimus pro selekci atributů FD (=D) <= ED (=E) ◦Existuje D neodvoditelných atributů ◦(D existuje (E-D) odvoditelných atributů  Získat  Eliminovat Parciální fraktální dimenze (pD) Korelační fraktální dimenze datasetu bez bez jednoho či více atributů.

Algorimus pro selekci atributů FDR – Fractal Reduction Algorithm Spočítaní FD celého datasetu Spočítání pD s každým odebraným atributem Vybrání atributu s minimálním rozdílem pD od FD datasetu Odebrání atributu Iterativně opakovat ◦Př.:  atributy {a,b,c}  c=a+b

FDR

Datasety pro testování Sierpinsky5 ◦5D Sierpinského trojúhelník ◦a=x,b=y,c=a+b,d=a 2 +b 2,e=a 2 -b 2 Hybrid5 ◦5D Sierpinského trojúhelník ◦a=x,b=y,c=f(a,b),d=random 1,e= random 2 Měna ◦6-ti dimenzionální dataset normaliyovaných kurzů měny z 01/02/87-01/28/97 ◦a=Hong Kongský dolar, b=Japonský jen, c=US dolar, d=Německá marka, e=Francouzský frank, f=Britská libra Eigenfaces ◦11000 vekotrů obličeje z projektu Informedia ◦16 dimenzí

FD datasetů

Testování 450 MHz Pentium II 128 MB RAM Windows NT 4.0 C++ Počítání dimenze ◦O(N) FDR ◦Lineární vzhledem k N ◦Kvadratická vzhledem k dimenzi prostoru

Testování – fraktální dimenze

Testování - FDR

Lokace páru očí v obrázku 3 úrovně 1.detekce kandidátů na oko 2.normalizace, FD, orientovaná FD, vytvoření dvojic 3.FD hraničního obrázku, FD tváře, výstup

FD pomocí box-counting (1) Počet kvádrů (box) pokrývající obrázek převedený do 3D 2D -> 3D ◦x=x ◦y=y ◦z=“intenzita šedé barvy” Vytvoření mřížky ◦obrázek IxI ◦mřížka SxS ◦buňky (i,j), kde 0<=i,j<r, r=spodní_celá_část(I/S) ◦převod na krychli SxSxS’  maximální_intensita_šedé = G  spodní_celá_část(G/S’) = spodní_celá_část(I/S)

FD pomocí box-counting (2) Padne-li min a max intenzita šedé na buňce (i,j) do kostek k, resp. l, pak n r (i,j)=l-k+1, kde r=spodní_celá_část(I/S) celkový počet kostek potřebný k pokrytí povrchu: N r =suma i,j n r (i,j) FD = směrnice přímky proložené jednotlivými hodnotami (log(N r ),log(1/r))

FD pomocí box-counting pro binární obrázek 2 hladiny – černá, bílá ◦černá – obrázkový bod ◦bílá – bod pozadí mřížka ◦obrázek IxI ◦mřížka SxS ◦n r (i,j) = “počet obrázkových bodů v buňce” ◦zbytek stejně jako pro šedou

FD v centru oka a jeho okolí

Detekce oka v obrázku “Údolí” – malá intenzita šedé Kandidát na region oko (x,y), jestliže: ◦f(x,y)<t 1, f(x,y)...obrázek tváře, t 1 …hranice ◦Φ v (x,y)>t v, Φ v...údolí, t v …hranice vybrání kandidáta z každého regionu

Spárování kandidátů (1) normalizace stupňů šedi (rozdílné světelné podmínky na každém z očí) stejná velikost stejná orientace ◦místo square-box-counting se počítá s orintovanými kvádry  horizontální fraktální dimenze FD h  vertikální fraktální dimenze FD v ◦ Na rozdíl od ostatních textur se FD h a FD v duhovek výrazněji liší

Spárování kandidátů (2) Příklad FD h a FD v

Spárování kandidátů (3) (x 0,y 0 )... lokace kandidáta levého oka (x 1,y 1 )... lokace kandidáta pravého oka M eye … průměrná FD regionu oka t 1, t 2, t 3, t 4... hranice

Verifikace párů (x,y)... pozice regionu páru očí F eye (x,y) … průměrná FD regionu páru očí F face (x,y) … průměrná FD regionu tváře t 5, t 6... hranice (t 5 = 0,038, t 6 = 0,035) při překrytí regionů volíme minimum z: |F eye (x,y) – M’ eye (x,y)| + |Fface(x,y) – M’ face (x,y)|

Experimenty Použití MIT a ORL databáze obličejů

Získání ostatních vlastností

Literatura Fast feature selection using fractal dimension ◦Caetano Tranja Jr., Afma Traina, Leejay Wu, Christos Faloutsos Estimating the Selectivity of Spatial Queries Using the ‘Correlation’ Fractal Dimension ◦Alberto Belussi, Christos Faloutsos Fractional Box-Counting Approach to Fractal Dimension Estimation ◦Jie Feng, Wei-Chung Lin, Chin-Tu Chen Locating the eye in human face images using fractal dimensions ◦K.-H.Lin, K.-M.Lam,W.-C.Siu Fraktály v počítačové grafice ◦Pavel Tišnovský,