Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám. Kombinace VY_42_INOVACE_ října 2013

Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. 2 Kombinace k-té třídy z n prvků je každá k-prvková podmnožina množiny určené těmito prvky.

3 3členné variace z prvků a, b, c, d (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) (a, b, d) (a, d, b) (b, a, d) (b, d, a) (d, a, b) (d, b, a) (b, c, d) (b, d, c) (c, b, d) (c, d, b) (d, b, c) (d, c, b) (a, c, d) (a, d, c) (c, a, d) (c, d, a) (d, a, c) (d, c, a) {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d} 3členné kombinace z prvků a, b, c, d V(3, 4)=3!K(3, 4) Schéma pro 3členné variace ze čtyř prvků a, b, c, d.

Platí: Pro všechna celá nezáporná čísla n, k, n≥k je 4

Příklad 1 Určete kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat: a) trojici políček b) trojici políček neležících v témže sloupci c) trojici políček neležících v témže sloupci ani v téže řadě d) trojici políček, která jsou všechna téže barvy 5

Řešení: a)Trojice, v nichž nezáleží na pořadí, vybíráme ze 64 políček. Jde tedy o počet 3členných kombinací ze 64 prvků. Trojici políček lze vybrat způsoby. 6

b) Od všech trojic políček odečteme všechny trojice ležící v témže sloupci. Sloupců je osm, v každém lze vybrat trojic políček. Trojici políček neležících v témže sloupci lze tedy vybrat způsoby. 7

c) Od všech trojic políček odečteme trojice políček ležící v témže sloupci a v téže řadě. Dostaneme tedy: 8

d) Od všech trojic políček odečteme všechny trojice bílých a všechny trojice černých políček. Dostaneme: 9

Příklad 2 Určete kolika způsoby je možno ze sedmi mužů a čtyř žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou: a) právě dvě ženy b)alespoň dvě ženy 10

Příklad 3 Kolik různých rovin je určeno 8 body, jestliže a)žádné čtyři neleží v jedné rovně b) šest z nich leží v jedné rovině 11 K(3,8)=56 K(3,8)-K(3,6)+1=37

Příklad 4 Kolik hráčů se zúčastnilo šachového turnaje, jestliže hrál každý s každým jednou a bylo odehráno 21 partií? 12 K(2,x)=21 →x =7

13 Příklad 5 V bedně je 40 hraček. Z nich je 36 dobrých a 4 vadné. Kolika způsoby lze vybrat 5 hraček tak, aby tři z nich byly dobré a dva vadné? K(3,36).K(2,4)=42 840

14 Příklad 6 Máme 15 pastelek různých barev. Kolika způsoby z nich lze vybrat tři pastelky? [K(3, 15)]

Příklad 7 Urči počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 2, 3. Kolik z těchto čísel je: a)dělitelných šesti b)menších než 2013? [18; 12; 6] 15

Citace 16 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN