Funkce Lineární funkce a její vlastnosti 2

Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h… Obvykle ji zapisujeme ve tvaru: nebo ve tvaru: y = f(x), např. y = 2x+1 f: y = 2x + 1 kde proměnná x je argument funkce.

Opakování − zápis funkce f: y = 2x + 1 kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor. Značí se: D(f)

Opakování − obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Značí se: H(f) Hodnota závisle proměnné je pro danou funkci jednoznačně určena hodnotou argumentu x - proto „závisle“ proměnná. Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno − výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x).

Opakování − zadání, zápis funkce 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí) 2) Tabulkou 3) Grafem f: y = 2x + 1

Lineární funkce Lineární funkce je funkce daná rovnicí y = ax + b kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem množina všech reálných čísel. y = 2x + 1 Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel, hovoříme o části lineární funkce. y = 0,5x - 3 y = -1/2x – 0,75 y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5

Graf lineární funkce Sestrojte graf funkce f: y = 2x - 1, pro x  R. Grafem funkce je přímka. Slovo přímka pochází z latinského „linea“, což označuje čáru nebo přímku. Funkci, jejímž grafem je přímka, říkáme lineární funkce.

Graf lineární funkce Je grafem lineární funkce každá přímka? Ano. Ne! Proč? Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo.

Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: Vlastnosti lineárních funkcí Jsou-li dvě lineární rovnice určeny rovnicemi y = a 1 x + b 1 ; y = a 2 x + b 2 a jestliže a 1 = a 2, pak grafy těchto funkcí jsou navzájem rovnoběžné přímky.

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 b = 1: y = x + 1 b = 0: y = x b = -1: y = x - 1 b = -2: y = x - 2 Koeficient b určuje posunutí grafu ve směru osy y. Udává y-ovou souřadnici průsečíku s osou y.

Vlastnosti lineární funkce y = ax + b y = 2x + 1 y = 0,5x - 3 y = - 1/2x – 0,75 y = - 5x + 3/4 y = - 3x + 1,5 Budeme nyní zkoumat, jak se mění graf lineární funkce v závislosti na změně koeficientu a.

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1 a = 1: y = x + 1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2x + 1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2x + 1 Funkce f je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1 < x 2, pak f(x 1 ) < f(x 2 ). a > 1 funkce rostoucí

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2x + 1 Funkce f je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1 f(x 2 ). a < 1 funkce klesajícící

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2x + 1 Zvláštní případ lineární funkce y = b se nazývá konstantní funkce. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. a = 0 funkce konstantní

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí y = 2x + 1 y = 0,5x - 3 y = -0,75 y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5 Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte.

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí y = 2x + 1 y = 0,5x - 3 y = -0,75 y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5 rostoucí konstantní klesající Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte.

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 5x + 9 y = -3 – 5x y = 5,25 y = -1/2x + 3/4 y = 1,5 + 0,5x y = 2/5 - x

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 5x + 9 y = -3 – 5x y = 5,25 y = -1/2x + 3/4 y = 1,5 + 0,5x y = 2/5 - x rostoucí klesající konstantní klesající rostoucí klesající

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí V téže soustavě souřadnic sestrojte grafy lineárních funkcí: y = x + 1 y = 3x + 1 y = -3x + 1

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí V téže soustavě souřadnic sestrojte grafy lineárních funkcí: y = x + 1 y = 3x + 1 y = -3x + 1