Číslo projektuCZ.1.07/1.5.00/ Název školyGymnázium, Soběslav, Dr. Edvarda Beneše 449/II Kód materiáluVY_42_INOVACE_12_11 Název materiáluZákladní kombinatorická pravidla – příklady II AutorMgr. Ivana Stefanová Tematická oblastMatematika Tematický okruhKombinatorika Ročník3 Datum tvorbyleden 2013 Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora.

Základní kombinatorická pravidla příklady II

c) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát, 4 · 3 · 3 · 4 = · 3 · 2 · 3 = 72 4 · 3 · 1 · 1 = 12 Z místa A do místa B vedou čtyři turistické cesty, z místa B do C tři. A B C Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu a) z A do C a zpět, b) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát,

12 · 5 = 60 ke každému ze 4 způsobů, jak dojít z A do B, existují 3 způsoby, jak dojít z B do C … 4 · 3 = 12 1) Po stejné cestě se budeme vracet z C do B  z B do A půjdeme jinou cestou, než kterou jsme šli z A do B … 3 způsoby 2) Z C do B půjdeme jinou cestou, než kterou jsme přišli, a z B do A půjdeme po stejné cestě … 2 způsoby trasa z A do C: zpáteční trasa z C do A: d) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát. Z místa A do místa B vedou čtyři turistické cesty, z místa B do C tři. A B C Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu = 5

Na vrchol hory vedou čtyři turistické cesty a lanovka. Určete počet způsobů, kterými je možno se dostat a) na vrchol a zpět, b) na vrchol a zpět tak, aby zpáteční cesta byla jiná než cesta na vrchol, c) na vrchol a zpět tak, aby aspoň jednou byla použita lanovka, d) na vrchol a zpět tak, aby lanovka byla použita právě jednou. d)1 (nahoru lanovkou) · 4 (dolů po cestě) + 4 (nahoru po cestě) · 1 (dolů lanovkou) = 8. a)5 (nahoru libovolně) · 5 (dolů libovolně) = 25, b)5 (nahoru libovolně) · 4 (dolů jinak) = 20, c)1 (nahoru lanovkou) · 4 (dolů po cestě) + 4 (nahoru po cestě) · 1 (dolů lanovkou) + 1 (nahoru i dolů lanovkou) = 9,

Z místa A do místa B vede pět cest, z místa B do místa C vedou dvě cesty a z místa A do místa C vede jedna cesta (viz obrázek). Určete, kolika různými způsoby lze vykonat cestu a) z místa A do místa C přes místo B; b) z místa A do místa C (jakkoli); c) z místa A do místa C (jakkoli) a potom zpět do místa B (přímo). A B C a)přímá cesta z A do C se nepoužije 5 počet cest z A do B … 5 2 počet cest z B do C … 2 b)Využijeme kombinatorické pravidlo součtu: 10 z A do C přes B … 10 (minulý případ) 1 přímá cesta je jen 1 10 způsobů celkem 5 · 2 = 10 způsobů 11 způsobů celkem = 11 způsobů 22 způsobů celkem 11 · 2 = 22 způsobů c)Využijeme kombinatorické pravidlo součinu: 11 z A do C … 11 (minulý případ) 2 ke každému z nich z C do B … 2

Použité zdroje: Calda E., Dupač V. Matematika pro gymnázia – Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Dotisk 3. vydání, Praha, Prometheus, s.r.o., s. ISBN Použité obrázky: Vytvořeno autorem v programu Microsoft Word