Název projektu: Podpora výuky v technických oborech Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název šablony: III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy: SOŠ NET OFFICE Orlová, spol. s r.o. Vypracoval/a: Ing. Joanna Paździorová

VÝROKOVÁ LOGIKA – výroky s kvantifikátory

Na úvod Doplňte vhodné ze slov právě, alespoň, nejvýše, tak aby vznikly pravdivé výroky: 1. Trojúhelník má … 3 vrcholy. 2. Libovolná přímka a kružnice má … 2 společné body. 3. Nerovnice x 2 >5 má …1 řešení.

Obecný kvantifikátor Používá se v obecných výrocích, označujeme , vyjadřuje skutečnost, že daná charakteristická vlastnost platí pro každou hodnotu z uvedené množiny Zápis:  x  M: V(x) Čteme: pro každou hodnotu x z množiny M platí vlastnost V(x) Příklad:  x  R : x 2 > 0pro každé reálné číslo platí, že druhá mocnina je kladné číslo

Existenční kvantifikátor Používá se v existenčních výrocích, označujeme , vyjadřuje skutečnost, že daná charakteristická vlastnost platí pro alespoň jednu hodnotu z uvedené množiny Zápis:  x  M: V(x) Čteme: existuje alespoň jedno x z množiny M pro, které platí vlastnost V(x) Příklad:  x  R : x 2 = 4 existuje alespoň jedno reálné číslo pro, které je jeho druhá mocnina rovna hodnotě 4.

Procvičení

Negace kvantifikovaných výroků 1. Negace obecného kvantifikátoru: (  x  M; V(x))´ =  x  M; V´(x) Př.: (  x  R: x 2  0)´=  x  R; x 2 < 0 2. Negace existenčního kvantifikátoru: (  x  M; V(x))´ =  x  M; V´(x) Př.: (  x  R: 2x = 1)´=  x  R: 2x  1

Další kvantifikátory Výrok (Negace výroku)Negace výroku (Výrok) Každý …je…Aspoň jeden… není… Žádný … není …Aspoň jeden… je… Aspoň n… je…Nejvýše n-1 … je … Právě n … je Nejvýše n-1 nebo aspoň n+1 …je …

Procvičení Negujte kvantifikované výroky: a) Každý student složil úspěšně maturitní zkoušku. Negace: Alespoň jeden student nesl ožil úspěšně maturitní zkoušku. b) Uvedená rovnice má právě 2 řešení v množině R Negace: Uvedená rovnice má nejvýše 1 nebo alespoň 3 řešení v množině R c) Dnes si kopím nejvýše 4 knihy. Negace: Dnes si koupím alespoň 5 knih.

Procvičení Negujte kvantifikované výroky: a) Žádné přirozené číslo není záporné. b) Alespoň jedno celé číslo je kladné. c) Nejvýše 3 reálná čísla jsou řešením zadané rovnice. d) Alespoň 4 studenti půjdou zítra do kina. e) Každý zaměstnanec dostane mimořádné odměny.

Anotace Materiál seznamuje žáky s kvantifikovanými výroky. Probírané pojmy: obecný kvantifikátor, existenční kvantifikátor, negace kvantifikovaných výroků Obsahuje řešené vzorové příklady i příklady k procvičení učiva Předpokládaná doba: 40 min.

Zdroje: Polák J.: Přehled středoškolské matematiky. SPN Praha 1991 Petáková J.: Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Prometheus Praha 2004