Číslo projektuCZ.1.07/1.5.00/ Název školyGymnázium, Soběslav, Dr. Edvarda Beneše 449/II Kód materiáluVY_42_INOVACE_12_23 Název materiáluVennovy diagramy příklady I AutorMgr. Ivana Stefanová Tematická oblastMatematika Tematický okruhMnožiny Ročník1 Datum tvorbyzáří 2013 Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora.

Vennovy diagramy příklady I

Během jednoho roku vystoupila dvakrát v jednom městě známá rocková skupina. Z 450 studentů gymnázia se koncertu této skupiny aspoň jednou zúčastnilo 290 studentů, právě jednou 200 studentů. Počet studentů, kteří byli pouze na 1. koncertu, je třikrát větší než počet studentů, kteří byli pouze na 2. koncertu. Kolik studentů bylo: a) na 1. koncertu, b) na 2. koncertu?

Během jednoho roku vystoupila dvakrát v jednom městě známá rocková skupina. Z 450 studentů gymnázia se koncertu této skupiny aspoň jednou zúčastnilo 290 studentů, právě jednou 200 studentů. Počet studentů, kteří byli pouze na 1. koncertu, je třikrát větší než počet studentů, kteří byli pouze na 2. koncertu. Kolik studentů bylo: a) na 1. koncertu, b) na 2. koncertu? a  b  c  d  450 Z 450 student ů gymnázia Koncertu se aspo ň jednou zú č astnilo 290 student ů a  b  c  290 Zúčastnilo se právě jednou 200 studentů a + c = 200 Počet studentů, kteří byli pouze na 1. koncertu, je třikrát větší než počet studentů, kteří byli pouze na 2. koncertu a = 3c

Dosadíme z (2) do (1): d = 450 ⇒ d =160 Dosadíme z (3) do (2): b = 290 ⇒ b = 90 Dosadíme z (4) do (3): 3c + c = 200 ⇒ c = 50 Dosadímev do (4): a = 3c =150 Na prvním koncertu bylo 240 studentů (množiny a a b). Na druhém koncertu bylo 140 studentů (množiny b a c ). Získali jsme soustavu rovnic: (1) a + b + c + d = 450 (2) a + b + c = 290 (3) a + c = 200 (4) a = 3c

Z 825 oslovených osob 380 uvedlo, že používá počítač doma nebo v zaměstnání. Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání, a je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání. Kolik oslovených osob používá počítač: a) pouze v zaměstnání, b) doma?

Z 825 oslovených osob 380 uvedlo, že používá počítač doma nebo v zaměstnání. Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání, a je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání. Kolik oslovených osob používá počítač: a) pouze v zaměstnání, b) doma? Z 825 oslovených osob  a + b + c + d = osob používá počítač doma nebo v zaměstnání  a + b + c = 380 Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání  a + b = 2b  a = b Počet osob, které používají počítač doma, je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání  a + b + 40 = c

Dosadíme z (2) do (1): d = 825 ⇒ d = 445 Dosadíme z (3) do (2): b + b + c = 380 ⇒ 2b + c = 380 (  ) Dosadíme z (3) do (4): b + b + 40 = c ⇒ 2b + 40 = c (   ) Dosadíme z (   ) do (  ): 2b + 2b + 40 = 380 ⇒ 4b = 340 ⇒ b = 85 Dosadíme do (3): a = 85 Dosadíme do (   ): c = 2b + 40 = = 210 Pouze v zaměstnání používá počítač 210 lidí (množina c). Doma používá počítač 170 lidí (množiny a a b). Získali jsme soustavu rovnic: (1) a + b + c + d = 825 (2) a + b + c = 380 (3) a = b (4) a + b + 40 = c

Z 326 studentů dojíždí do školy 92 vlakem, autobusem nejezdí 143, právě jedním z uvedených dopravních prostředků jezdí 213 studentů. Určete, kolik studentů jezdí: a) vlakem i autobusem, b) jen vlakem, c) jen autobusem?

Z 326 studentů dojíždí do školy 92 vlakem, autobusem nejezdí 143, právě jedním z uvedených dopravních prostředků jezdí 213 studentů. Určete, kolik studentů jezdí: a) vlakem i autobusem, b) jen vlakem, c) jen autobusem? Z 326 studentů  a + b + c + d = studentů dojíždí do školy vlakem  a + b = studentů nejezdí autobusem  a + d = 143 právě jedním z uvedených dopravních prostředků jezdí 213 studentů  a + c = 213

Dosadíme z (2) do (1): 92 + c + d = 326 ⇒ c + d = 234 ⇒ c = 234 – d (  ) Dosadíme z (  ) do (4): a – d = 213 ⇒ a – d = –21 ⇒ a = d –21 (   ) Dosadíme z (   ) do (3): d – 21 + d = 143 ⇒ 2d = 164 ⇒ d = 82 Dosadíme do (   ): a = 61 Dosadíme do (  ): c = 152 Dosadíme do (2): b = 31 Vlakem i autobusem jezdí 31 studentů (množina b). Jen vlakem jezdí 61 studentů (množina a). Jen autobusem jezdí 152 studentů (množina c). Získali jsme soustavu rovnic: (1) a + b + c + d = 326 (2) a + b = 92 (3) a + d = 143 (4) a + c = 213

Použité zdroje: 1.Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia – Základní poznatky z matematiky. Dotisk 3., upraveného vydání, Praha, Prometheus, s.r.o., s. ISBN Halouzka A. Písemky z matematiky SŠ, 1.vydání v ČR, Praha, Scientia, s.r.o., s. ISBN Použité obrázky: Vytvořeno autorem v programu GeoGebra.