Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Základní vztahy hydrodynamiky, proudění vody v potrubí, ztráty Jana Pařílková.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Základní vztahy hydrodynamiky, proudění vody v potrubí, ztráty Jana Pařílková."— Transkript prezentace:

1 Základní vztahy hydrodynamiky, proudění vody v potrubí, ztráty Jana Pařílková

2 Základní vztahy hydrodynamiky- elementární pojmy kinematiky kapalin Otevřený průřez (řeka, potok, průplav, příkop) – vždy se vytvoří volná hladina. Uzavřený průřez (potrubí, stoka, štola, propustek) – zcela vyplněn kapalinou (vodovodní potrubí), zčásti vyplněn kapalinou = proudění o volné hladině (městská stoka za malého přítoku vody). Průtočná plocha (průtočný průřez) A [m 2 ] je příčný průřez kolmý ke směru proudění a vyplněný proudící kapalinou. Baťův kanál – úsek u Rohatce Moravany – propustek v místě dálnice Vídeň - Wroclaw

3 Elementární pojmy kinematiky kapalin Částicová (bodová) rychlost u [m/s] kapaliny je dráha částice kapaliny dl, kterou urazí za čas dt. Objemový průtok (průtok) je objem V [m 3 ] kapaliny, který protekl celou průtočnou plochou A [m 2 ] za jednotku času t [s]. Střední hodnota rychlosti v [m/s] (průřezová, střední profilová) kapaliny je definovaná tak, že jejím vynásobením průtočnou plochou A [m 2 ] dostáváme skutečný průtok Q [m 3 /s].

4 Základní rovnice pohybu kapalin Obecný případ neustáleného proudění vazké stlačitelné kapaliny je složitým jevem. Proto se zavádějí zjednodušující předpoklady a uvažují se modely: Ideální kapalina – nevazká, nestlačitelná (  = 0,  = konst.), Skutečná kapalina – vazká, nestlačitelná (  = konst.).

5 Soustavu základních rovnic popisujících pohyb kapaliny tvoří: Rovnice kontinuity (zákon zachování hmotnosti), Pohybová rovnice (2. Newtonův zákon vyjadřující silové působení v proudící kapalině – pro ideální kapalinu se nazývá Eulerova rovnice, pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu se nazývá Navierova-Stokesova resp. Reynoldsova pro turbulentní proudění), Bernoulliho rovnice (zákon zachování mechanické energie proudu), Věta o hybnosti (vztahuje se na poměry na plochách ohraničujících určitou oblast kapaliny, takže není nutné znát průběh proudění). Při praktických výpočtech jsou doplněny zpravidla stavovou rovnicí (vyjadřuje vztah mezi hustotou kapaliny a tlakem) nebo tokovou rovnicí (vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem rychlosti deformace).

6 Rovnice kontinuity Rovnice kontinuity má pro nestlačitelnou kapalinu v ortogonálním kartézském systému souřadnic tvar Rovnice kontinuity má pro nestlačitelnou kapalinu v ortogonálním kartézském systému souřadnic tvar pro proudovou trubici

7 Pohybová rovnice pro ideální kapalinu – Eulerova rovnice Lokální zrychlení Konvektivní zrychlení Zrychlení vnějších objemových sil Tlakové síly Vnější síly a měrná hmotnost jsou obvykle známy. Zůstávají 4 neznámé p, u x, u y, u z ; je nutno použít další rovnici = rovnici kontinuity.

8 Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu – Navierova-Stokesova rovnice Navier – Stokesova rovnice vztažená na jednotku hmotnosti má tvar: Přistupují síly tření způsobené vazkostí Lokální zrychlení Konvektivní zrychlení Zrychlení vnějších objemových sil Tlakové síly

9 Pohybová rovnice pro skutečnou nestlačitelnou kapalinu při turbulentním proudění – Reynoldsova rovnice Odvozena z Navierovy – Stokesovy rovnice tak, že okamžitá bodová rychlost resp. tlak, je rozložena na střední (časově vyhlazenou) rychlost ū a fluktuační (pulsační) složku rychlosti u‘: Potom:, kde

10 Ustálené proudění (permanentní) je takový pohyb kapaliny, který se nemění v čase. Proudění kapalin (pohyb vody) kde indexy 1,2,…n se vztahují k jednotlivým příčným řezům koryta. V uvedeném tvaru platí pro nestlačitelné tekutiny (kapaliny), pro stlačitelné tekutiny (vzdušiny) jen při pohybu za stálého tlaku a teploty. Popsán je rovnicí kontinuity (spojitosti) ustáleného proudu:

11 Proudění kapalin (pohyb vody) Pohyb rovnoměrný Pohyb rovnoměrný je zvláštní případ pohybu ustáleného, při němž jsou průtočné průřezy celého uvažovaného úseku stejné, A 1 = A 2 = …= A n = konst. Protože při ustáleném pohybu také Q=konst., jsou střední rychlosti nezávislé časově i místně. Rybník „Návesní“, potok Lopač, Ostrov u Macochy, Blanensko J0J0 v J 0 – sklon dna

12 Pohyb ustálený nerovnoměrný vzniká při ustáleném proudění (Q = konst.) při změně průtočné plochy (A ≠ konst.). Proudění kapalin (pohyb vody) zrychlený – průtočné plochy se ve směru toku zmenšují nebo zpožděný - průtočné plochy se ve směru toku zvětšují. Pohyb může být:

13 Proudění kapalin (pohyb vody) Neustálené proudění kapaliny je pohyb, při němž se průtok mění v čase Q ≠ konst. Nastává časová i pohybová změna vodních stavů. (Pohyb povodně v řece – průtok se zvětšuje do maxima a potom klesá). Druhé rameno řeky Opavy se vytvořilo po povodních v r

14 Proudnice jsou čáry vedené proudící kapalinou tak, že v každém místě má jejich tečna směr souhlasný se směrem rychlosti proudění v tomto místě. Při ustáleném proudění jsou totožné s drahami jednotlivých částeček kapaliny. Uvažujeme-li v kapalině nekonečně malou uzavřenou křivku a v každém jejím bodě vedeme příslušnou proudnici, pak tyto proudnice vytvářejí proudovou trubici a kapalina v této trubici se nazývá proudovým vláknem. Proudění kapalin (pohyb vody)

15 Bernoulliho rovnice Vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudu kapaliny. Je základním vztahem hydrodynamiky. Jinak řečeno: pro tíhovou jednotku proudící kapaliny je součet (polohové, tlakové)-potenciální a pohybové-kinetické energie konstantní. kde h značí polohovou (geodetickou) výšku osy proudového vlákna, p tlak,  hustota kapaliny, u bodovou rychlost a g tíhové zrychlení Země. Pro ustálené proudění ideální kapaliny v proudové trubici pro všechny průřezy proudového vlákna je součet polohové (geodetické), tlakové a rychlostní výšky stálý.

16 Bernoulliho rovnice Pro ustálené proudění skutečné kapaliny (nestlačitelná, ale uvažuje se vnitřní tření) má tvar: kde h z je ztrátová výška (přičítá se vždy v tom průřezu, který je dále po toku), v je průřezová rychlost,  je Coriolisovo kritérium (nesprávně číslo  = 1,05 - 1,10). Coriolisovo kritérium odstraňuje chybu zavedením průřezové rychlosti místo skutečného rozdělení rychlosti v průřezu. Vyjadřuje podíl skutečné kinetické energie v průřezu ku kinetické energii vyjádřené z průřezové rychlosti.

17 Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu

18 Věta o hybnosti Působí-li na hmotný bod o hmotnosti m stálá síla F, mění se rychlost u. Podle Newtonova zákona: impuls sílyhybnost hmotného bodu Integrací v časovém intervalu t 1 do t 2, v němž je síla stálá a vektor rychlosti se mění z u 1 do u 2 lze psát:

19 Věta o hybnosti při ustáleném proudění kapalin Za dobu 1s při ustáleném proudění kapalin každým průřezem projde průtok o hmotnosti  Q, jehož hybnost je  Qv. Rychlost v průtočném průřezu není rozdělena rovnoměrně, počítáme s její průměrnou hodnotou v. Pro zpřesnění výpočtu zavádíme korekční součinitel  – Boussinesqovo kriterium (zpravidla v nepravidelných průtočných průřezech. Je to obdoba Coriolisova kriteria a jeho hodnota se pohybuje kolem 1. Věta o hybnosti řeší takové případy, kdy nedovedeme určit ztráty, ale známe všechny síly působící na určitý objem kapaliny. Na rozdíl od Bernoulliho rovnice (energetická bilance) se jedná o vztah vektorový.

20 Na potrubí s průměrem D 1 = 0,3 m, kterým protéká průtok Q = 0,110 m 3 /s, je napojeno potrubí s průměrem D 2 = 0,15 m. V potrubí D 2 vypočítejte velikost rychlostní výšky. (Neuvažujte ztráty.)

21 Voda proudí potrubím A-B, které je sériově spojeno s potrubím B-C. V potrubí B-C je průřezová rychlost v 2 = 2 m/s. V uzlu C se potrubí větví na část C-D, ve které je průřezová rychlost v 3 = 1,5 m/s. V úseku C-E je průtok Q 4 = ½ Q 3. Vypočítejte průřezové rychlosti a průtoky ve všech úsecích potrubí a v úseku C-D určete odpovídající průměr. (Neuvažujte ztráty.)

22 Řešení A-B a B-C jsou řazeny sériově → stejný průtok Q 1 = Q 2. Rce kontinuity: Průřezová rychlost: Průtok v potrubí B-C se rovná součtu průtoků v trase C-D a C-E: Q 2 = Q 3 + Q 4. Protože Q 4 = 0,5 Q 3, je Q 2 = Q 3 + 0,5 Q 3 =1,5 Q 3 a platí: Odpovídající D 3 se vyjádří rovněž z rce kontinuity Průřezová rychlost v úseku C-E

23 Sériově spojené vodovodní potrubí dle obrázku má průměry D 1 = 0,024 m, D 2 = 0,056 m a D 3 = 0,040 m. Tlakové výšky v otevřených piezometrech v průřezech 1 resp. 2 jsou h 1 = 0,68 m resp. h 2 = 0,84 m. Vypočítejte tlakovou výšku h 3. Předpokládejte proudění ideální kapaliny s hustotou  = 1000 kg/m 3.

24

25 Vysvětlete princip měření bodové rychlosti pomocí Pitotovy trubice v kanálu s volnou hladinou. Pitotova trubice je do pravého úhlu ohnutá trubice na obou koncích otevřená. Zúženým otvorem v krátkém vodorovném rameni se vloží proti proudu, ve svislém rameni vystoupí kapalina nad hladinu do úrovně 3. Prandtlova sonda – dvě vedení v trubici

26 Řešení Stoupnutí hladiny v trubici je způsobeno přeměnou kinetické energie proudící kapaliny na energii potenciální. Protože u 2 =0 → h 1 = h 2, u 1 = u, platí: Bernoulliho rovnice pro proudové vlákno v místech 1-2 Kde H je převýšení hladiny ve svislém rameni Pitotovy trubice nad hladinou. Proto určuje Pitotova trubice rychlostní výšku. Pro rychlost proto platí: Deformací proudu vznikají ztráty. Výsledek je tedy nutno opravit součinitelem φ<1, který se určuje experimentálně.

27 Do vodovodního potrubí byl pro měření průtoku vřazen venturimetr (dle obrázku). Vypočítejte rychlosti v 1, v 2 a průtok Q, je-li průměr D 1 = 100 mm, D 2 = 50 mm, rozdíl tlaku v piezometrických trubicích H = 80 mm,  = 1 a geodetické výšky h 1 = h 2. Předpokládejte proudění ideální kapaliny s hustotou  = 1000 kg/m 3, teplotou T = 20°C a = 1, m 2 /s. Určete hodnoty Reynoldsových kritérií v profilech 1 a 2.

28

29 Vodovodní potrubí průměru D 1 =(50+P)mm se vloženou armaturou zužuje na průměr D 2 =(25+0,5P)mm. Připojené piezometry ukazují rozdíl hladin H= (50+2P)mm. Vypočtěte průtok Q vody potrubím a rychlost v 2 ve zúženém průřezu. Ztráty zanedbejte,  ≈ 1,0. Počítejte pro P = 10.

30 Řešení pro: P=10, D 1 =60 mm, D 2 =30 mm, H=70 mm Rce kontinuity: Vychází z Bernoulliho rovnice

31 Z nádoby 1 o průřezu A 0 vytéká voda trubicí, jejíž výtokový průřez A 1 je v hloubce h 1 pod hladinou v nádobě. Uprostřed je trubice zúžena na plochu A 2. Svislou trubku, vedoucí od tohoto zúžení do nádoby 2, zatím neuvažujeme. Vodu v nádobě 1 stále doplňujeme na původní úroveň, takže pohyb je ustálený. Zjistěte, zda vznikne ve zúženém průřezu podtlak. Sací účinek proudu

32 Řešení Pro průřezy A 0 - A 1, v nichž je atmosférický tlak p 0 bude za předpokladu proudění beze ztrát Bernoulliho rce: Rce kontinuity: Z obou rovnic plyne A je-li A 0 >A 1, lze druhý člen zanedbat: Bernoulliho rce pro průřezy A 0 –A 2 : Rce kontinuity: potom Zanedbáme-li a dosadíme za v 1, potom

33 výraz je kladný, tj. tlak vnějšího vzduchu p 0 je větší než tlak vody p 2 ve zúženém průřezu, když: Při splnění této podmínky vzniká ve zúženém průřezu podtlak p 2 < p 0. Navrtáme-li za takových podmínek stěnu trubice ve zúženém průřezu, voda tímto otvorem nevytéká, ale naopak vnější vzduch je nasáván do trubice. Je-li otvor propojen trubkou s níže položenou druhou nádobou, je voda z této nádoby nasávána tak dlouho, pokud tlak sloupce  gh 3 < (p 0 – p 2 ). Na tomto principu jsou založena hydraulická čerpadla a hydraulické vývěvy.

34 Z nádrže vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρ=1000 kg/m 3 svislým divergentním potrubím, jehož vstupní průměr je D 1 =0,015 m, výstupní průměr D 2 =0,02 m a délka l =1 m. Výška hladiny v nádržce nad výtokovým průřezem je H = 2 m. Vypočítejte průtok potrubím, v průřezu 1 zjistěte hodnotu tlaku. Řešení Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 2→v 2, průtok z rce kontinuity. S.R. se volí ve výtokovém průřezu. Bernoulliho rce pro hladinu v nádrži 0 a výtokový průřez 1 V průřezu 1 je podtlak. Pozn. V rozšiřujícím se potrubí není průběh tlakové čáry lineární.

35 Ke stěně nádrže je připevněno vodorovné potrubí s proměnným průměrem, kterým vytéká ideální kapalina o měrné hmotnosti ρ=1000 kg/m 3 do volného prostoru. Hladina v nádrži je ve výšce H=3 m nad osou potrubí. Průměry a délky potrubí jsou D 1 =0,24 m, l 1 =3 m, D 2 =0,1 m, l 2 =1 m, D 3 =0,12 m, l 3 =2 m. Vypočítejte průtok potrubím a zakreslete průběh čáry energie a tlaku.

36

37 Tlakové poměry v průřezu 0-1 se získají z Bernoulliho rce v průřezu 0-2 v průřezu 3 působí atmosférický tlak p a přetlak podtlak Pozn. Při vykreslování tlakové čáry jsou přetlaky nad S.R. a podtlaky pod ní.

38 V potrubí, které je skloněné o úhel α = 45°, se na délce l = 2 m mění průřez z D 1 = 0,2 m na průměr D 2 = 0,1 m. Jestliže potrubím protéká olej o ρ 0 = 900 kg/m 3 a průřezová rychlost je v profilu 1 v 1 = 2 m/s, určete pokles tlaku na délce l = 2 m (ztráty se neuvažují). Při měření tlaků diferenciálním manometrem, ve kterém je rtuť o ρ Hg = kg/m 3, určete rozdíl hladin v manometru H m.

39

40 Laminární a turbulentní proudění Pomocí hodnoty Reynoldsova kritéria se určuje režim proudění (laminární nebo turbulentní). Při laminárním režimu proudění se jednotlivé vrstvy kapaliny mezi sebou nemísí. Turbulentní režim proudění se vyznačuje nepravidelnou pulsací složek rychlosti a tlaku kolem jejich střední hodnoty. Proudění v potrubí

41 Kruhové potrubí - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem: kde  je součinitel kinematické viskozity, D je průměr potrubí. (pro t = 20°C –  20 = 1, m 2 /s). Kritické hodnoty jsou: Re krit < laminární proudění; Re > kvadratická oblast ztrát třením. Obecný průřez - Reynoldsovo kritérium je definováno vztahem: kde R je hydraulický poloměr. Kritické hodnoty jsou: Re Rkrit < laminární proudění; Re R > kvadratická oblast ztrát třením v obecném průřezu. Reynoldsovo kritérium A je plocha, O je omočený obvod Pozn.: Hydraulický poloměr v kruhovém potrubí je R=D/4.

42 Při jakých rychlostech proudění vody 20°C teplé je zajištěn laminární režim proudění potrubím kruhového průřezu o vnitřním průměru D= 50 mm? (pro t = 20°C je  20 = 1, m 2 /s) Řešení

43 Ztráty Při laminárním proudění jsou hydraulické ztráty úměrné hodnotě střední rychlosti. Při turbulentním proudění, při němž odpory značně narůstají vlivem pulsací rychlostí, jsou ztráty úměrné až kvadrátu rychlosti. můžeme vyjádřit z Bernoulliho rovnice v proudu skutečné kapaliny, po úpravě pak Celkovou ztrátu h z dostaneme složením jednotlivých ztrát, jež se provede sečtením: Na vodorovném potrubí stálého průřezu bude ztrátová výška dána rozdílem tlakových výšek (v 1 = v 2 a h 1 = h 2 ): Ztráta třením a místní ztráta se obvykle vyjadřují jako část rychlostní výšky ve tvaru : Kde  je součinitel příslušné ztráty.

44 Ztráty třením, výpočet dlouhého potrubí Ztráty třením – Darcy-Weisbachova rovnice (i E je hydraulický sklon tj. sklon ČE) Je tečné napětí u stěny potrubí, R je hydraulický poloměr.

45 Základní vztahy pro výpočet součinitele tření Základní vztahy pro výpočet součinitele tření

46

47 Nekruhová potrubí, dlouhá potrubí

48 Vypočítejte ztrátu třením na délce L = 1000 m běžného litinového potrubí (n = 0,013,  = 0,002 m) o průměru D = 250 mm, kterým protéká průtok Q = 60 l/s vody (teplota vody t = 20 o C). Řešení L = 1000 m; D = 0,25 m; Q = 0,060 m 3 /s; = 1, m 2 /s; n = 0,013;  = 0,002 m; Zadání

49 dle Manninga dle Pavlovského dle Ševeljeva Colebrook-Whiteova rovnice Ztráty třením na délce potrubí L = 1000 m jsou podle jednotlivých autorů v rozmezí od 9,41 ~ 10,78 m.

50 Hydraulicky krátké potrubí je takové potrubí, u něhož místní ztráty h m nejsou zanedbatelné vůči ztrátám třením h t. Celkové ztráta h z se počítá podle vztahu: kde je součinitel tření, L délka úseku potrubí, D průměr potrubí,  součinitel místní ztráty, v průřezová rychlost, g tíhové zrychlení. Hranice mezi potrubím hydraulicky krátkým a dlouhým není otázkou geometrickou, ale hydraulickou. Je nutné posoudit, zda je ztráta místní zanedbatelná vůči ztrátě třením. Typickými příklady krátkého potrubí jsou shybky, potrubí čerpadel, násosky, atd.

51 Shybka Otevřené vodní toky (náhony, potoky, kanály,...) vedeme pod místními překážkami (komunikace, jiný vodní tok,...) krátkými úseky tlakových potrubí - shybkami. Vtok shybky navrhujeme rozšířený nebo zaoblený. Umisťujeme jej tak hluboko pod hladinu, aby se netvořil vtokový vír a aby do shybky nevnikal vzduch. Před vtokem se obvykle umisťují hrubé česle a lapák splavenin. Aby shybkou protekl určitý průtok, musí hladina před objektem zaujmout vyšší polohu, než hladina za objektem. Před shybkou dochází většinou ke změně beztlakového proudění na tlakové a za shybkou k opačné změně.

52 Položte shybku kruhového průřezu o poloměru D=0,6 m a délce L= 25 m náhonu pod silnicí. Vypočítejte ztrátovou výšku při průtoku Q = 450 l/s. Stupeň drsnosti dle Manninga pro kanalizační trouby je n = 0,013. Řešení

53

54

55 Na potrubí, které spojuje dvě nádrže s olejem A a D, je umístěno čerpadlo BC. Čerpadlo má čerpat průtok Q = 160 l/s do horní nádrže D. Sací i výtlačné potrubí má průměr D = 0,3 m. Ztráty v sacím potrubí jsou 2,5 m; ve výtlačném potrubí 6,5 m sloupce oleje. Jestliže jsou známé polohové výšky hladin v nádržích a osy čerpadla, vypočtěte příkon čerpadla, je-li účinnost jeho čerpání  = 0,6 a měrná hmotnost oleje  = 760 kg/m 3. Tlaková čára Příkon čerpadla  – měrná hmotnost Q – průtok H – dopravní výška  č – účinnost čerpadla  m – účinnost elmotoru

56 Řešení


Stáhnout ppt "Základní vztahy hydrodynamiky, proudění vody v potrubí, ztráty Jana Pařílková."

Podobné prezentace


Reklamy Google