Lineární funkce s absolutní hodnotou Autor: Mgr. Eva Hubáčková Použití: výklad a procvičení lineární funkce s absolutní hodnotou Datum vypracování: Datum pilotáže: Anotace: Interaktivní prezentace je určena pedagogům a studentům při výkladu a procvičení sestrojování grafu lineární funkce s absolutní hodnotou na středních školách. Seznamuje s dvěma způsoby hledání grafu u některých typů příkladů. Cvičení je nejprve celé vyřešeno, pak podobné úlohy řeší žáci s interaktivní tabulí, nakonec jsou uvedeny cvičení na samostatné procvičení, pro kontrolu je uvedeno řešení.

LINEÁRNÍ FUNKCE S ABSOLUTNÍMI HODNOTAMI Připomeňme definici absolutní hodnoty: Je-li a≥0, pak |a| = a Je-li a<0,pak |a| = - a Příklad 1: Sestrojte graf funkce y=|3-x|. 1) Je-li 3-x≥0, tj. x≤3 je |3-x|=3-x. Předpis funkce je tedy y=3-x, tj. y=-x+3. 2) Je-li 3-x≤0, tj. x≥3 je |3-x|=-(3-x). Předpis funkce je tedy y=-3+x, tj. y=x-3 Výsledný graf bude samozřejmě sjednocením obou polopřímek do jednoho obrázku. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Příklad 2: Sestrojte graf funkce y=2·|x+1|-3·|x-1|. Předpis funkce bude jiný v intervalech, na které reálnou osu rozdělí nulové body výrazů v absolutní hodnotě. (Potřebujeme zjistit zápornost a nezápornost výrazů v absolutní hodnotě – uděláme rozbor do přehledné tabulky.) Nyní podle definice absolutní hodnoty vyřešíme. 1) 2) 3) (-∞;-1›(-1;1›(1;∞› x+1-++ x-1--+ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Shrňme předpisy funkcí v jednotlivých intervalech a sestrojme graf: x (-∞;-1›……y = x – 5 x (-1;+1›……y = 5x – 1 x (1;+∞›……y = -x + 5 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Sledujte řešení grafů funkcí h 1 a h 2 v následujících oknech. Graf h 3 řešte do sešitu s pomocí interaktivní tabule. Grafy h 4 a h 5 řešte zcela samostatně. Řešení si následně zkontrolujte v posledních oknech. Sestrojte grafy následujících funkcí : h 1 : y=2·| x-3 | + 1 h 2 : y=| x+2 | +0,5·| x-1 | - x h 3 : y=| x+1 | - | 3-x | + 2 h 4 : h 5 : Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

řešení h 1 : y=2·| x-3 | Způsob Nulový bod výrazu v absolutní hodnotě x = 3. V jednotlivých intervalech vyřešíme absolutní hodnotu a odvodíme funkční předpis. 1)x (-∞;3›, |x-3|=-x+3=3-x y = 2·(3-x) + 1 = 6-2x+1= - 2x + 7 2) x (3;∞), |x-3|=x-3 y = 2·(x-3)+1 = 2x-6+1 = 2x - 5 (-∞;3›(3;∞) x-3-+ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

h 1 : y=2·| x-3 | Způsob Sestrojíme graf funkce y / =2|x / | posunutý o 3 jednotky ve směru kladné poloosy x a o 1 jednotku ve směru kladné polosy y. Čárkované úseky nanášíme od posunutého bodu [3; 1] x/x/ 01 y/y/ 202 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

h 2 : y=| x+2 | +0,5·| x-1 | - x Nulové body výrazů v absolutní hodnotě jsou x = -2, x = 1 2) (-∞;-2›(-2;1›(1;∞) x+2-++ x ) 1) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

h 3 : y=| x+1 | - | 3-x | + 2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

(-∞;0›(0;∞) x-+ h4:h4: Nulový bod výrazu v absolutní hodnotě je x=0. 1) 2) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

(-∞;1›(1;∞) x-1-+ h5:h5: Nulový bod výrazu v absolutní hodnotě je x=1 1)2) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Zdroje informací Učebnice Matematika pro gymnázia -Funkce, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků Cvičení jsou originálně vytvořena podle předlohy úloh ve sbírce Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková

Metodický list V 1. části (příklad 1 a 2) zopakujeme definici absolutní hodnoty, úpravu výrazu s absolutní hodnotou a odvození předpisů funkce v jednotlivých intervalech V 2. části studenti podle návodu řeší 5 funkcí. První dvě za pomoci řešení v jednotlivých oknech. (U první funkce jsou uvedeny dva způsoby řešení). Třetí interaktivně doplňují sami do tabulky a grafu. Poslední dvě řeší zcela samostatně. Kontrola řešení je uvedena v závěrečných oknech.