Směrnicová rovnice přímky VY_34_INOVACE Matematika, č.přílohy Směrnicová rovnice přímky Autor: Mgr. Eva Hubáčková Použití: odvození a procvičení pojmu směrnicová rovnice přímky Datum vypracování: 14.8.2013 Datum pilotáže:.2012 Anotace: Interaktivní prezentace je určena pedagogům a studentům při výkladu a procvičení směrnicové rovnice přímky na středních školách. Základní typy příkladů jsou řešeny, učitel může některé kroky na interaktivní tabuli zvýraznit. V závěru je samostatné cvičení s návodnými kroky. Pro kontrolu je uvedeno řešení.

Mějme dánu funkci f: y= 2x Čím se budou lišit grafy funkcí g:y = 2x + 5 h: y =2x – 4 ? v o 5 j. o 5 j. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Grafem funkce y = kx je přímka různá od osy y, která prochází počátkem soustavy souřadnic. Funkce y = kx se nazývá přímá úměrnost. Graf funkce y = kx + q dostaneme, posuneme-li graf funkce y = kx o q jednotek ve směru osy y. y=kx q y=kx+q Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Jaký je geometrický význam čísla k? Sledujme rovnici y = 2x + q, což je y = 𝟐 𝟏 x + q, a souřadnice jejích několika směrových vektorů. u = (2;4) 4 v = (-3;-6) 2 -6 w = (1;2) 2 -3 1 Všechny směrové vektory jsou v násobku, rovnici y = 2 1 x + q můžeme psát též jako y = 4 2 x + q nebo y = −6 −3 x + q. Obecně jako y = 𝒄∙𝟐 𝒄∙𝟏 x + q. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Jestliže tedy s je směrový vektor přímky p, s =( 𝒔 𝟏 ; 𝒔 𝟐 ), pak číslo k = 𝒄∙ 𝒔 𝟏 𝒄∙ 𝒔 𝟐 . Rovnice y = kx + q se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo k se nazývá směrnice přímky. Směrnice má ještě jeden důležitý geometrický význam: 𝒕𝒈𝜶= 𝒔 𝟐 𝒔 𝟏 =𝒌 Úhel α se nazývá směrový úhel, určuje odchylku přímky od kladné poloosy y. 𝒔=( 𝒔 𝟏 ; 𝒔 𝟐 ) 𝑠 2 α 𝑠 1 α Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak ,je Mgr. Eva Hubáčková

z obecné rovnice přímky ax + by + c = 0, kde b ≠ 0. Směrnicový tvar můžeme vyjádřit také z obecné rovnice přímky ax + by + c = 0, kde b ≠ 0. Z obecné rovnice vyjádříme y: by = - ax – c /:b 𝒚=− 𝒂 𝒃 𝒙 − 𝒄 𝒃 Označíme - li 𝒌= −𝒂 𝒃 = 𝒔 𝟐 𝒔 𝟏 , 𝒒=− 𝒄 𝒃 Můžeme rovnici přímky psát ve směrnicovém tvaru y = kx + q. Příklad: Určete směrnici a směrový úhel přímky dané obecnou rovnicí 3x + 2y + 6 = 0. Řešení: 2y = -3x – 6 /:2 …….. 𝑦=− 3 2 x−3 …….. 𝒌=− 𝟑 𝟐 =𝑡𝑔𝛼 ……. α = -56°18´ α = 180°-56°18‘ = 123°42‘ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Jak souvisí směrnice kolmých přímek? Předpokládejme, že jsou dány dvě navzájem kolmé přímky p, q: 𝑝: 𝑦=𝑘𝑥+𝑞 …… 𝑘𝑥−𝑦+𝑞=0 ……. 𝑛𝑜𝑟𝑚á𝑙𝑜𝑣ý 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑛=(𝑘;−1) 𝑞: 𝑦= 𝑘 ′ 𝑥+ 𝑞 ′ …… 𝑘 ′ 𝑥−𝑦+ 𝑞 ′ =0 …… 𝑛𝑜𝑟𝑚á𝑙𝑜𝑣ý 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑛 ′ = 𝑘 ′ ;−1 . Pokud jsou přímky kolmé, jsou kolmé i jejich normálové vektory, skalární součin normálových vektorů se musí rovnat nule. 𝑘;−1 ∙ 𝑘 ′ ;−1 =0 𝑘∙ 𝑘 ′ + −1 ∙ −1 =0 𝑘∙ 𝑘 ′ =−1 …… 𝒌 ′ =− 𝟏 𝒌 Příklad: Určete směrnicový tvar rovnice přímky m, která prochází bodem 𝐴 6;2 A je kolmá k přímce 𝑝:𝑦=− 1 2 𝑥+3. Řešení: Kolmá přímka m musí mít směrnici 𝒌 ′ =− 𝟏 − 𝟏 𝟐 =𝟐.Rovnice přímky m je 𝒚=𝟐𝒙+ 𝒒 ′ . 𝑨 𝟔;𝟐 ∈𝒒 …. 2=2∙6+ 𝑞 ′ ….. 𝒒 ′ =−𝟏𝟎. Řešením úlohy je přímka 𝒚=𝟐𝒙−𝟏𝟎 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Samostatné cvičení s návodnými kroky: Napište směrnicový tvar rovnice přímky n, která je kolmá k přímce 𝒑 𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐜𝐡á𝐳í 𝐛𝐨𝐝𝐞𝐦 𝑬. 𝒑:𝒙=𝟑𝒕−𝟏,𝒚=−𝟐𝒕+𝟐,𝒕∈𝑹, 𝑬 −𝟐;𝟕 1. Určete směrový vektor a směrnici přímky: 2. Určete směrnici kolmé přímky n: 3. Z podmínky 𝐸∈𝑛 dopočítejte parametr 𝑞 ′ kolmé přímky. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Eva Hubáčková

Řešení samostatného úkolu: 1. 𝑠 𝑝 = 3;−2 , 𝑘 𝑝 = −2 3 2. 𝑘 ′ = 3 2 2. 𝑘 ′ = 3 2 3. 𝐸 −2;7 ∈𝑛…….7= 3 2 ∙ −2 + 𝑞 ′ ……. 𝑞 ′ =10 Řešením je přímka 𝒚= 𝟑 𝟐 𝒙+𝟏𝟎 𝒏:𝒚= 𝟑 𝟐 𝒙+𝟏𝟎 𝑝:𝑦=− 2 3 𝑥+ 4 3 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak je Mgr. Eva Hubáčková

Zdroje informací Učebnice Matematika pro gymnázia - Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků. Sbírka úloh Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie, nakladatelství Prometheus, Jednota českých matematiků a fyziků