Ekonomické modelování Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. –Akciové riziko –Měnové riziko –Komoditní riziko –Úrokové riziko –Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných příjmů a výdajů s danou citlivostí) –Otevřená pozice... neseme tržní riziko Dlouhá (příjmy > výdaje) Krátká (výdaje > příjmy) –Uzavřená pozice (příjmy = výdaje)... riziko zajištěné Zajišťování = uzavírání pozic/ spekulace = otevírání p. Přirozené × umělé zajišťování

Ekonomické modelování Příklad - měnové riziko FX EUR 3M 15 CZK0,5 EUR BÚ Zásoby Prov. úvěr PohledávkyZávazky Invest. úvěr Fix. aktivaKapitál 5 CZK30 CZK 60 CZK40 CZK 140 CZK125 CZK 2 EUR50 CZK 1 EUR 240 CZK225 CZK 1,5 EUR2 EUR 285 CZK x = 30,00 Krátká pozice 0,5 mil. € = 15 mil. Kč.

Ekonomické modelování Příklad - měnové riziko (2) 289,5 CZK 291 CZK FX EUR 3M 15 CZK0,5 EUR 240 CZK225 CZK 1,5 EUR2 EUR BÚ Zásoby Prov. úvěr PohledávkyZávazky Invest. úvěr Fix. aktivaKapitál 5 CZK30 CZK 60 CZK40 CZK 140 CZK125 CZK 2 EUR50 CZK 1 EUR x = 33,00 138,5 CZK Krátká pozice způsobila při růstu kursu pokles hodnoty podniku.

Ekonomické modelování Citlivostní analýza nelineárních rizik Zkoumáme faktorovou citlivost  =  V /  x (V je velikost pozice, x hodnota rizikového faktoru) Riziko je zajištěno, pokud  = 0 (pozice je uzavřená). U lineárních rizik (měnové, akciové, komoditní) je tato citlivost konstantní a odpovídá velikosti pozice. U nelineárních rizik (úrokové riziko, opční rizika) je analýza složitější, protože  se mění s x. Citlivostní analýza slouží ke kvalitativnímu posuzování tržních rizik a jeho zajišťování. Úlohu lze řešit analyticky (většinou) nebo numericky (vždy).

Ekonomické modelování Cvičení (úroková citlivost) Dlouhá pozice v SD 4,20%/2036 při tržní úrokové sazbě i = 4%. Simulujte procentní změnu hodnoty této pozice  V / V při růstu/poklesu tržní úrokové sazby o různé násobky 0,5 p.b. (tzn. na 2%, 2,5%, 3,5%, 10% atd.) Znázorněte graficky funkci  V / V = ƒ(  i). Funkce je nelineární a konvexní.

Ekonomické modelování Durace (srov. Vlachý s ) K odhadu úrokového rizika se jako míra citlivosti používá durace. –Durace vyjadřuje změnu hodnoty pozice jako závislost na velmi malé změně úrokové sazby. –Názorně ji lze chápat jako směrnici tečny k funkci citlivosti v počátečním bodě. ΔV/V Δi

Ekonomické modelování Cvičení (modifikovaná durace) Duraci úrokové pozice lze zjistit analyticky (Macaulayho durace) nebo numericky (modifikovaná durace). Odhadněte modifikovanou duraci D mod dlouhé pozice v SD 4,20%/2036 při tržní úrokové sazbě i= 4%, pokud víte, že je definována vztahem  V /  i = - D mod V.

Ekonomické modelování Dynamické zajišťování Durace se používá při tzv. dynamickém zajišťování (imunizaci) úrokového rizika (viz Vlachý s. 99). Imunizované portfolio se tvoří tak, aby byla shodná durace aktiv a pasiv. Analogicky se postupuje při zajišťování opčních pozic (tzv. delta hedging).

Ekonomické modelování Kvantifikace rizika Mírou tržního rizika je volatilita. Volatilita je směrodatná odchylka výnosů (tzn. oboustranná míra variability). Volatilitu lze odhadnout –Z historických dat (u jednotlivých tříd aktiv se volatilita dlouhodobě zpravidla příliš nemění) –Implicitně (výpočtem z tržních hodnot opcí) –Kvalifikovaným odhadem Volatilita se využívá –K analytickému oceňování opcí (např. pomocí Blackova- Scholesova modelu) –K analytickému odhadu Value at Risk

Ekonomické modelování Historický odhad volatility 1.Pořídit vhodnou časovou řadu tržních cen. 2.Spočítat výnosy za jednotlivá období (nejlépe logaritmické výnosy podle vztahu r = ln(p 1 /p 0 ). 3.Volatilita (vztažená k výnosovému období) je rovna směrodatné odchylce těchto výnosů. 4.Volatilita se zpravidla uvádí jako roční (případně denní); převod na jiné období se provádí podle tzv. pravidla druhé odmocniny času  Y /  M =  t Y /t M.

Ekonomické modelování Riziko investičního portfolia Volatilita (riziko) investičního portfolia je (někdy výrazně) nižší než průměrná volatilita jeho složek, přičemž očekávaný výnos je roven váženému průměru výnosů. Tento jev matematicky popisuje Moderní (Markowitzova) portfoliová teorie (MPT) a jde o příklad efektu diverzifikace. Míra diverzifikace závisí na korelaci mezi jednotlivými složkami (nízký korelační koeficient   1 znamená velký efekt diverzifikace a naopak).

Ekonomické modelování Cvičení (optimalizace portfolia) Na základě historické simulace výnosů tří aktiv znázorněte množinu možných portfolií. Stanovte množinu efektivních portfolií (maximalizací výnosnosti při stejném riziku, respektive minimalizací rizika při stejné výnosnosti). Odhadněte lineární efektivní množinu (se zavedením možnoésti bezrizikové alokace).

Ekonomické modelování Value at Risk (VAR) O jakou hodnotu mohu maximálně přijít za určitou dobu v důsledku daného rizika? Vzhledem k tomu, že jde o statistický odhad, mohu to určit pouze s určitou mírou spolehlivosti, za použití příslušného kvantilu. VAR lze odhadnout –Analyticky –Historickou simulací –Statistickou simulací Úlohy, které lze řešit pomocí VAR: –Kolik (ekonomického) kapitálu kryje dané riziko? –Jaká je tržní hodnota daného rizika? –Jaký limit je třeba stanovit pro obchodování?

Ekonomické modelování Kvantily normálního rozdělení Vycházejí z distribuční funkce normovaného norm. rozdělení (tabelováno, nebo funkce Excelu =normsdist()) u 50% = 0 (medián) u 90% = 1,28 (9. decil) u 95% = 1,65 (95. percentil) u 99% = 2,33 (99. percentil) x > x min =  — u  x < x max =  + u  P(x) x   99%

Ekonomické modelování Cvičení (historická simulace VAR) Jaká je maximální ztráta, kterou realizuje investor do portfolia, složeného napůl z akciového indexu S&P 500 a zlata, při max. době držení 10 dní a statistické spolehlivosti odhadu 95%? Úlohu řešte historickou simulací a statistickou simulací (zde předpokládejte výnosy indexu a zlata jako nekorelované náhodné veličiny).

Ekonomické modelování Cvičení (statistická simulace VAR) Jaká je maximální ztráta, kterou realizuje v desetidenním horizontu kupec 1000 ks SD4,20%/2036, je-li aktuální tržní úroková sazba 4%? Předpokládáme chování úrokových sazeb podle stochastického procesu i t = i 0 +    t (tzv. geometrický Brownův pohyb,  je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením). Odhadujeme denní volatilitu úrokových sazeb  = 0,08%. Požadujeme statistickou spolehlivost odhadu 95%. Simulaci lze provést jako semiparametrickou (při každém pokusu se přepočítává hodnota dluhopisu v závislosti na vygenerované úrokové sazbě) nebo jako plně parametrickou (s využitím známé modifikované durace dluhopisu).

Ekonomické modelování Dodatek - korelovaná náhodná čísla Předpokl. normální rozdělení veličin x, y Korelační koeficient  xy  Očekávané hodnoty  x,  y, směrodatné odchylky  x,  y Generujeme dvojice nezávislých normovaných normálních náhodných čísel z 1, z 2 = normsinv(rand()) Z nich vždy vytvoříme třetí proměnnou z 3 =  xy z 1 +  (1-  xy 2 ) z 2 Spočítáme dvojice korelovaných náhodných čísel x =  x + z 1  x y =  y + z 3  3 Tento postup vychází z tzv. Choleského faktorizace