Jak je to s izomorfismem B C D G1 a b c d G2 G1 a G2 jsou izomorfní G1  G2 Jak je to s izomorfismem

G1 G2 G1 a G2 jsou izomorfní G1  G2 B A a b c d C D Jak je to s izomorfismem

G1 G2 G1: G2: A B a b c d C D U1 = {A, B, C, D} H1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1: U2 = {a, b, c, d} H2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2: IZOMORFIZMUS A --- c B --- d C --- a D --- b Jak je to s izomorfismem

? G1: G2: U1 = {A, B, C, D} H1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } IZOMORFIZMUS Jak je to s izomorfismem

! G1: G2: IZOMORFIZMUS A --- c B --- d C --- a D --- b U1 = {A, B, C, D} H1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1: U2 = {a, b, c, d} H2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2: Jak je to s izomorfismem

G1: G2: obraz G1: obraz G1: U1 = {A, B, C, D} H1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1: U2 = {a, b, c, d} H2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2: IZOMORFIZMUS A --- c B --- d C --- a D --- b totéž... obraz G1: obraz G1: U = {c, d, a, b} H = { [c,d], [c,a], [c,b], [d,b], [a,b] } U = {a, b, c, d} H = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } pouze seřaď uzly a hrany Jak je to s izomorfismem

G1: G2: obraz G2: obraz G2: U1 = {A, B, C, D} H1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1: U2 = {a, b, c, d} H2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2: IZOMORFIZMUS A --- c B --- d C --- a D --- b totéž... obraz G2: obraz G2: U = {A, B, C, D} H = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } U = {C, D, A, B} H = { [C,D], [C,A], [D,A], [D,B], [A,B] } pouze seřaď uzly a hrany Jak je to s izomorfismem

A B G1 G2 a b c d C D A B G1 G2 a b c d C D Jak je to s izomorfismem

G1 G2 A B a b c d C D DALŠÍ IZOMORFIZMUS A --- b B --- a C --- d Jak je to s izomorfismem

G1: G2: obraz G1: obraz G1: U1 = {A, B, C, D} H1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1: U2 = {a, b, c, d} H2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2: DALŠÍ IZOMORFIZMUS A --- b B --- a C --- d D --- c totéž... obraz G1: obraz G1: U = {b, a, d, c} H = { [b,a], [b,d], [b,c], [a,c], [d,c] } U = {a, b, c, d} H = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } pouze seřaď uzly a hrany Jak je to s izomorfismem

G1: G2: obraz G2: obraz G2: U1 = {A, B, C, D} H1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1: U2 = {a, b, c, d} H2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2: DALŠÍ IZOMORFIZMUS A --- b B --- a C --- d D --- c totéž... obraz G2: obraz G2: U = {A, B, C, D} H = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } U = {B, A, D, C} H = { [B,A], [C,A], [D,A], [D,B], [A,B] } pouze seřaď uzly a hrany Jak je to s izomorfismem

G1 G2 G1 G2 Jak se to zjistilo? A B a b c d C D VŠECHNY IZOMORFIZMY MEZI a : G1 G2 A --- b B --- a C --- d D --- c A --- b B --- d C --- a D --- c A --- c B --- a C --- d D --- b A --- c B --- d C --- a D --- b Jak se to zjistilo? Jak je to s izomorfismem

JAK LZE PŘIŘAZOVAT UZLY: {A,D}  {b,c} A {B,C}  {a,d} G1 G2 a b c d C D JAK LZE PŘIŘAZOVAT UZLY: {A,D}  {b,c} A {B,C}  {a,d} A --- b D --- c B --- a C --- d A --- b D --- c B --- d C --- a A --- c D --- b B --- a C --- d A --- c D --- b B --- d C --- a A --- b D --- c A --- c D --- b B --- a C --- d B --- d C --- a B --- a C --- d B --- d C --- a Jak je to s izomorfismem

G1 G2 G1 G2 3 A B C D E F 6 4 5 1 2 VŠECHNY IZOMORFIZMY MEZI a : Skupiny: krajní uzly {A,F}  {1,6}, vnitřní uzly {B,C,D,E}  {2,3,4,5} A --- 1 B --- 2 C --- 3 D --- 4 E --- 5 F --- 6 A --- 6 B --- 5 C --- 4 D --- 3 E --- 2 F --- 1 Jak je to s izomorfismem

... ... G1 G2  Cn G1  Cn G2 VŠECHNY IZOMORFIZMY MEZI a : A B C E D F ... --- ... A --- n B --- 1 C --- 2 D --- 3 E --- 4 F --- 5 ... --- ... A --- n-1 B --- n C --- 1 D --- 2 E --- 3 F --- 4 ... --- ... A --- 2 B --- 3 C --- 4 D --- 2 E --- 3 F --- 4 ... --- ... ... A --- n B --- n-1 C --- n-2 D --- n-3 E --- n-4 F --- n-5 ... --- ... A --- 1 B --- n C --- n-1 D --- n-2 E --- n-3 F --- n-4 ... --- ... A --- 2 B --- 1 C --- n D --- n-1 E --- n-2 F --- n-3 ... --- ... A --- n-1 B --- n-2 C --- n-3 D --- n-4 E --- n-5 F --- n-6 ... --- ... 1 2 3 5 4 6 7 8 9 n  Cn G2 ... CELKEM 2n IZOMORFIZMŮ Jak je to s izomorfismem

{A,F}  {a,c}, {B,D}  {b,d}, {C,E}  {e,f} G1 G2 Skupiny uzlů podle počtu incidujících hran: {A,F}  {a,c}, {B,D}  {b,d}, {C,E}  {e,f} Postupně přiřazujeme: {Aa, Fc}  (hrany [A,B]  [a,d]) {Bd, Db}   (hrany [B,C]  [d,e]) {Ce, Ef} Získaný izomorfismus mezi G1 a G2 je jediný. Otázka: G1  Kn, G2  Kn, kolik je mezi nimi různých izomorfizmů? Jak je to s izomorfismem

Jaké pojmy zavedeme v další části: sousední uzly, sousední hrany, množina sousedů uzlu (podmnožiny uzlů), stupeň uzlu, soubor stupňů, pravidelný graf Skripta strana 22 - 23 sousední uzly sousední hrany u v x y z w r (u) = {v}, (v) = {u,x,r,w,z}, (y) =  ({u,z}) = {v,w,r} ({v,w}) = {u,v,x,z,w,r} množina sousedů uzlu u . . . (u) množina sousedů podmnožiny uzlů A . . . (A) Sousedi

 (u) = 1+5+2+0+3+3+4 = 18 Věta:  (u) = 2|H| Graf |H| = 9 Názvosloví: Stupeň uzlu u je počet hran, které s uzlem incidují - (u). Věta:  (u) = 2|H| uU Důvod: Každá hrana přispívá do celkového součtu stupňů právě dvěma jednotkami. y x Graf  (u) = 1+5+2+0+3+3+4 = 18 1 5 2 uU |H| = 9 3 3 4 Stupeň uzlu

(Neklesající) posloupnost sestavená ze stupňů všech uzlů grafu Soubor stupňů grafu G1 2 3 2 Soubor stupňů grafu G1: 5 3 4 (2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) 4 2 4 3 G1  G2  G1 a G2 mají stejný soubor stupňů . Věta: Důvod: Snad alespoň intuitivně zřejmý. (V nejhorším formálně např. indukcí...) Jak určíme stupně uzlů se smyčkami ??? Soubor stpňů

Pozorování: Když mají grafy G1 a G2 stejný soubor stupňů, zdaleka nemusí být izomorfní. 2 2 3 1 3 2 1 2 G2 G1 2 2 (1, 2, 2, 2, 3) (1, 2, 2, 2, 3) 2 3 3 2 3 2 2 1 3 1 1 2 2 3 3 3 3 3 G1 G2 G3 (1, 2, 2, 3, 3, 3) (1, 2, 2, 3, 3, 3) (1, 2, 2, 3, 3, 3) Soubor stpňů a izomorfismus

Věta: V každém grafu je sudý počet uzlů lichého stupně. Důkaz (sporem): Kdyby byl počet uzlů lichého stupně liché číslo, přispívaly by tyto uzly do celkového součtu stupňů lichým číslem (protože součet lichého počtu lichých čísel je číslo liché). Ostatní uzly by do celkového součtu přispívaly jen sudými čísly, a tak by součet všech stupňů bylo číslo liché (přičtením sudého čísla k lichému získáme opět číslo liché). Jenomže součet všech stupňů je roven dvojnásobku počtu hran, tudíž je to číslo sudé. Např.: 3 4 7 1 4 Soubor stupňů: (1, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7) 6 4 6 5 Stpeň uzlu

Názvosloví: V pravidelném grafu stupně k (k  0) mají všechny uzly stupeň právě k. Pravidelný graf stupně 1 Pravidelný graf stupně 2 Pravidelné grafy

Pravidelný graf stupně 3 Pravidelné grafy

W1 Dn je pravidelný graf stupně 0 Kn je pravidelný graf stupně (n-1) Graf W1 není pravidelný Pravidelné grafy

Kontrolní otázky Může být uzel obyčejného (resp. prostého, resp. obecného) grafu sousedem sám sobě ? Jak souvisí stupeň uzlu u prostého (resp. obecného) grafu s počtem sousedů uzlu u ? Jak bude vypadat obyčejný graf G = H,U s n uzly a minimálním počtem hran, pro jehož nějaký uzel u platí (u) = U - {u} ? Vyslovte tvrzení o struktuře pravidelného grafu stupně 1 (resp. 2). Může být graf se souborem stupňů 1,1,1,1,1,1,1,3,4 stromem ? Obyčejný graf G má n1 uzlů stupně k1, n2 uzlů stupně k2 a už žádné další uzly. Jaký maximální počet různých automorfismů může mít graf G ? Je možné nalézt nějaký pravidelný graf stupně 3, který má 7 uzlů ? Nalezněte příklady dvou neizomorfních obyčejných grafů se shodným souborem stupňů 1,1,2,2,3,3. Nechť u je uzel stupně k grafu G a u' jeho obraz v izomorfním grafu G'. Vyslovte nějaké tvrzení o stupních sousedů uzlu u a sousedů uzlu u'. Lze tvrdit, že v grafu G = H,U pro libovolné AU, B=(A) platí (B)=A ? Vytvořte návod, jak pro danou neklesající posloupnost přirozených čísel d1, d2, ..., dn určit nějaký obecný graf (pokud existuje), jehož je souborem stupňů.

komponenta grafu, strom, kostra grafu Jaké pojmy zavedeme v další části: sled (otevřený / uzavřený), složení sledů, tah, cesta, kružnice, souvislý graf, komponenta grafu, strom, kostra grafu Skripta strana 23 - 28 Sled grafu G = H,U, s krajními uzly u a v : posloupnost uzlů a hran S = u0, h1, u1, h2, . . . , un-1, hn, un , kde u = u0, v = un, (hi) = [ui-1,ui] pro i = 1, 2, ..., n, délka sledu S je n, vnitřní uzly jsou u1, ... un-1 Jinými slovy - sled s krajními uzly u a v je posloupnost uzlů a hran, které projdeme, když se grafem libovolně neuspořádaně pohybujeme z uzlu u do uzlu v. Každý průchod hranou zvětší délku sledu o 1. Uzavřený sled: u=v a n1 Navazující sledy můžeme Otevřený sled: uv nebo n=0 skládat. Sledy v grafu

a b c d a b c d (Otevřený) sled s1 délky 5 z uzlu a do uzlu b: < a, [a,b], b, [b,a], a, [a,c], c, [c,a], a, [a,b], b > a b c d a b (Otevřený) sled s2 délky 8 z uzlu a do uzlu b: < a, [a,c], c, [c,d], d, [d,a], a, [a,c], c, [c,d], d, [d,c], c, [c,d], d, [d,b], b > c d Sledy v grafu

Tah s krajními uzly u a v je sled s krajními uzly u a v, v němž se žádná hrana neopakuje (uzel může). (Otevřený) tah t1 délky 4 z uzlu c do uzlu d: < c, [c,d], d, [d,a], a, [a,b], b, [b,d], d > a b c d b (Otevřený) tah t2 délky 8 z uzlu e do uzlu d: < e, [e,d], d, [d,a], a, [a,c], c, [c,b], b, [b,a], a, [a,e], e, [e,c], c, [c,d], d > a c e d Tahy

Cesta s krajními uzly u a v je tah s krajními uzly u a v, v němž se žádný uzel neopakuje. Je to tedy sled v němž se neopakuje žádná hrana ani žádný uzel. a b c d (Otevřená) cesta c1 délky 4 z uzlu a do uzlu d: < a, [a,b], b, [b,g], g, [g,c], c, [c,d], d, > e f g h a (Otevřená) cesta c2 délky 5 z uzlu e do uzlu h: < e, [e,b], b, [b,a], a, [a,c], c, [c,f], f, [f,h], h > b c f g e d h i Cesty

Kružnice je uzavřená cesta (tj Kružnice je uzavřená cesta (tj. uzavřený sled délky aspoň 1, v němž se žádná hrana ani uzel neopakuje). a b c d Kružnice k1 délky 5 procházející uzly b, c, d, g, f: < b, [b,c], c, [c,d], d, [d,g], g, [g,f], f, [f, b], b > e f g h a V tomto grafu neexistuje žádná kružnice (ani žádný uzavřený tah). Uzavřený sled ano, např. < a, [a,c], c, [c,a] a > b c f g e d h i Kružnice

Jestliže se ve sledu vyskytuje uzel x vícekráte, Pozorování: Z každého sledu z uzlu u do uzlu v lze vybrat cestu z u do v. Konstrukce: Opakuj Jestliže se ve sledu vyskytuje uzel x vícekráte, odstraň ze sledu vše mezi prvním a posledním výskytem x. dokud lze sled takto„zkracovat“. Ve výsledku se žádný uzel neopakuje, je to tedy cesta. Odstranitelné části sledu Graf v u Cesty

a b < a, [a,c], c, [c,d], d, [d,a], a, [a,c], c, [c,d], d, [d,c], c, [c,d], d, [d,b], b > c d a b < a, [a,c], c,[c,d], d, [d,c], c, [c,d], d, [d,b], b > c d a b < a, [a,c], c,[c,d], d, [d,b], b > c d Cesty

Pozorování: Z každého uzavřeného sledu liché délky (alespoň 3) lze vybrat kružnici liché délky. Zdůvodnění: Pokud se v uzavřeném sledu S z uzlu u do u žádný uzel neopakuje, je sled již sám kružnicí. Pokud se ve sledu S některý uzel x (x ≠ u) vyskytuje (alespoň) dvakrát, rozdělíme S na sledy S1 a S2: S1 bude sled vedoucí z prvního výskytu x v S do posledního výskytu x v S. V S2 bude všechno ostatní, tj. S2 = S – S1. G x u S2 S1 S1 i S2 jsou uzavřené sledy a právě jeden z nich má lichou délku. Není-li pak sám kružnicí, aplikujeme na něj opět stejný postup, dokud nedojdeme ke kružnici liché délky. Cesty

Předchozí pozorování neplatí pro sledy sudé délky – z takového sledu vůbec nemusí být možné vybrat žádnou kružnici. b Uzavřený sled <b, [b,c], c, [c,e], e, [e,c], c, [c,d], d, [d,c], c, [c,b], b> má délku 6 a žádnou kružnici neobsahuje a c e d Pozorování tedy neplatí pro sledy sudé délky proto, že nejkratší uzavřený sled sudé nenulové délky má délku 2 – je to cesta po jedné hraně „tam a zpět“ a neobsahuje kružnici. Naopak, nejkratší uzavřený(!) sled liché délky má délku 1 (v obyčejném grafu dokonce 3) – a to už je kružnice. Cesty

V souvislém grafu existuje cesta mezi libovolnými dvěma uzly. Souvislý graf je takový, v němž existuje sled mezi libovolnými dvěma uzly. Pozorování: V souvislém grafu existuje cesta mezi libovolnými dvěma uzly. Zdůvodnění: Z každého sledu lze vybrat cestu. Komponenta grafu je každý jeho maximální souvislý podgraf ( = souvislý podgraf, který už “nelze zvětšit”) . Graf G1 má 5 komponent . G1 Souvislost

Je-li G = H,U, souvislý graf, potom platí |H|  |U| - 1. Poznámka: Graf obsahuje jednu komponentu (je-li souvislý) nebo více komponent (není-li souvislý). Pozorování: Každý souvislý graf G s n (2) uzly obsahuje uzel u, po jehož odebrání vznikne souvislý podgraf G-{u} s n-1 uzly. (Je to libovolný krajní uzel cesty maximální délky v G.) Důležité pozorování: Je-li G = H,U, souvislý graf, potom platí |H|  |U| - 1. Zdůvodnění (indukcí podle počtu uzlů |U|=n) Souvislost

Jak vypadají souvislé grafy s minimálním počtem hran ? Takže: K vytvoření souvislého grafu o n uzlech potřebujeme alespoň (n-1) hran. Jak vypadají souvislé grafy s minimálním počtem hran ? Strom je souvislý graf, který neobsahuje žádnou kružnici. Kostra grafu G je takový jeho faktor, který je stromem. b b a c a c e d e d Souvislost

Kontrolní otázky Je-li G prostý graf, je možné každý jeho sled vyjádřit pouze jako odpovídající posloupnost uzlů? Jak je to s vyjádřením pomocí posloupnosti hran ? Máme dva souvislé grafy G1 a G2. Je sjednocení G1  G2 souvislý graf ? Nechť G je obyčejný graf s n uzly. Stanovte podmínky pro počet jeho hran, které zaručí, že určitě není souvislý určitě je souvislý Kolik různých kružnic délky k (k3) obsahuje úplný graf Kn (n3) ? Za různé nepovažujte kružnice, které se jakožto posloupnosti uzlů liší pouze volbou počátečního uzlu nebo opačným pořadím procházení uzlů. Nechť stromy T1 a T2 mají alespoň jednu společnou hranu. Je symetrická diference T1  T2 souvislým grafem ? Vyjádřete podmínku souvislosti grafu G pomocí (tranzitivního uzávěru) relace sousednosti . Určete minimální a maximální možný počet komponent obyčejného grafu, který má 10 uzlů a 16 hran.