Galoisova tělesa Bakalářská práce 23. 11. 2014, Brno Připravil: Martin Horák Galoisova tělesa Bakalářská práce
Vytvoření výukové aplikace pro Galoisova tělesa Kapitola 1 Cíl práce Vytvoření výukové aplikace pro Galoisova tělesa Generování prvků Matematické operace s prvky Vysvětlení procesů v aplikaci Využití Galoisových těles v praxi (AES)
Galoisova tělesa Galoisovo těleso = alespoň dvouprvková množina F, spolu se dvěma operacemi (sčítání, násobení) Sčítání komutativní, neutrální prvek 0 Násobení komutativní, neutrální prvek 1 Označení GF(pm) Základem je generujicí ireducibilní polynom (stupně m)
Galoisova tělesa - prvky Generování prvků První prvek 0, druhý 1, Další prvek = předchozí prvek * x Pokud stupeň nového polynomu >= stupeň řídícího polynomu → dělení Nový prvek = zbytek po dělení Počet prvků je pm
Galoisova tělesa - operace Sčítání –koeficienty stejného řádu s = (a + b) mod soustava Odčítání – sčítání s inverzním prvkem s = x – y → s = x + inv(y) Násobení – násobení polynomů, násobení koeficientů Dělení – násobení inverzním prvkem s = x / y → s = x * inv(y)
Využití v kryptografii Eliptické křivky Algoritmus ECDSA (DSA), standard pro digitální podpis AES Celosvětově rozšířená, WIFI (WPA2) Využíváno GF(28)
Aplikace Požadavky Řešení Zadání řídicího polynomu Výběr číselné soustavy Generování prvků + operace (Cíl práce) Řešení Webová aplikace (dostupnost, software) PHP
Chod aplikace Zadání řídicího polynomu (popř. změna soustavy) Kontrola nulový polynom, ireducibilita Generování prvků Výpis prvků (včetně vysvětlení) Možnost matematických operací (včetně popisu)
Aplikace Zadání Popis procesu generování
Aplikace Prvky Matematické operace
Závěr Navržena aplikace pro Galosiova tělesa Možnost o rozšíření dalších funkcí nad GF (AES)
Děkuji za pozornost